Neste problema, você irá demonstrar a equação de movimento (9.34) para um referencial em rotação usando o formalismo Lagrangiano. Como sempre, o método Lagrangiano é, em muitos aspectos, mais fácil do que o Newtoniano (exceto pelo fato de que ele apela para alguma ginástica vetorial levemente ardilosa), mas é talvez pouco iluminador. Seja
um referencial não inercial girando com velocidade angular constante
relativa ao referencial inercial
. Considere ambos os referenciais tendo a mesma origem,
. (a) Determine a Lagrangiana
em termos das coordenadas
de
. [Lembre-se de que você deve primeiramente determinar
no referencial inercial. Neste contexto, lembre que
.] (b) Mostre que as três equações Lagrangianas reproduzem exatamente (9.34).
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar a equação de movimento (9.34) para um referencial que está girando, usando o formalismo Lagrangiano. Isso envolve calcular a Lagrangiana, que é a diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
, em termos das coordenadas do referencial rotativo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade no referencial inercial se relaciona com a velocidade no referencial rotativo, usando a relação
.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a energia cinética
no referencial inercial
. A velocidade no referencial inercial é dada por:
onde
é a velocidade no referencial rotativo
,
é a velocidade angular constante do referencial, e
é a posição.
A energia cinética no referencial inercial é então:
Passo 3
Vamos expandir essa expressão:
Aqui, temos três termos: a energia cinética devido à velocidade no referencial rotativo, um termo de correlação entre a velocidade e a rotação, e a energia cinética devido à rotação do referencial.
Passo 4
Agora, consideramos a energia potencial
. Se não houver potenciais adicionais,
permanece inalterada no referencial rotativo. Assim, a Lagrangiana
é:
Passo 5
Simplificando a Lagrangiana, temos:
Esse é o resultado para a parte (a) da questão, expressando a Lagrangiana no referencial rotativo.
Resposta
A Lagrangiana no referencial rotativo
é dada por: