Neste problema, você irá demonstrar a equação de movimento (9.34) para um referencial em rotação usando o formalismo Lagrangiano. Como sempre, o método Lagrangiano é, em muitos aspectos, mais fácil do que o Newtoniano (exceto pelo fato de que ele apela para alguma ginástica vetorial levemente ardilosa), mas é talvez pouco iluminador. Seja um referencial não inercial girando com velocidade angular constante relativa ao referencial inercial . Considere ambos os referenciais tendo a mesma origem, . (a) Determine a Lagrangiana em termos das coordenadas de . [Lembre-se de que você deve primeiramente determinar no referencial inercial. Neste contexto, lembre que .] (b) Mostre que as três equações Lagrangianas reproduzem exatamente (9.34).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar a equação de movimento (9.34) para um referencial que está girando, usando o formalismo Lagrangiano. Isso envolve calcular a Lagrangiana, que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial , em termos das coordenadas do referencial rotativo . Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade no referencial inercial se relaciona com a velocidade no referencial rotativo, usando a relação .

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a energia cinética no referencial inercial . A velocidade no referencial inercial é dada por:
onde é a velocidade no referencial rotativo , é a velocidade angular constante do referencial, e é a posição.
A energia cinética no referencial inercial é então:

Passo 3

Vamos expandir essa expressão:
Aqui, temos três termos: a energia cinética devido à velocidade no referencial rotativo, um termo de correlação entre a velocidade e a rotação, e a energia cinética devido à rotação do referencial.

Passo 4

Agora, consideramos a energia potencial . Se não houver potenciais adicionais, permanece inalterada no referencial rotativo. Assim, a Lagrangiana é:

Passo 5

Simplificando a Lagrangiana, temos:
Esse é o resultado para a parte (a) da questão, expressando a Lagrangiana no referencial rotativo.

Resposta

A Lagrangiana no referencial rotativo é dada por:

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