qualquer função esfericamente simétrica, isto é, quando expressa em coordenadas esféricas
, ela tem a forma
, independente de
. (b) Mostre o mesmo resultado usando a fórmula dada ao final do livro para
em coordenadas esféricas polares. (Obviamente, esta segunda demonstração é muito mais simples, mas o trabalho pesado está escondido na dedução da fórmula para
.)
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que é esfericamente simétrica, ou seja, só depende da distância
até a origem e não dos ângulos
e
. A gente precisa mostrar como o operador Laplaciano,
, se comporta para essa função usando a fórmula do Laplaciano em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender a fórmula do Laplaciano em coordenadas esféricas e ver como ela se simplifica quando a função depende apenas de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão geral do Laplaciano em coordenadas esféricas. A fórmula completa é:
Essa fórmula leva em conta como a função muda nas três direções em coordenadas esféricas: radial (
), polar (
) e azimutal (
).
Passo 3
Agora, como a função
é esfericamente simétrica, ela não depende de
nem de
. Ou seja, as derivadas parciais de
em relação a
e
são zero:
Isso simplifica a expressão do Laplaciano, já que os termos que envolvem essas derivadas desaparecem.
Passo 4
Substituindo essas derivações na fórmula do Laplaciano, ficamos apenas com a parte radial:
Aqui, usamos a notação de derivada total em vez de parcial, já que
só depende de
.
Passo 5
Para deixar ainda mais claro, vamos expandir essa expressão:
Então, o Laplaciano de uma função esfericamente simétrica reduz a essa combinação das primeiras e segundas derivadas em relação a
.
Resposta
Para uma função esfericamente simétrica
, o Laplaciano em coordenadas esféricas é dado por