qualquer função esfericamente simétrica, isto é, quando expressa em coordenadas esféricas , ela tem a forma , independente de . (b) Mostre o mesmo resultado usando a fórmula dada ao final do livro para em coordenadas esféricas polares. (Obviamente, esta segunda demonstração é muito mais simples, mas o trabalho pesado está escondido na dedução da fórmula para .)

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é esfericamente simétrica, ou seja, só depende da distância até a origem e não dos ângulos e . A gente precisa mostrar como o operador Laplaciano, , se comporta para essa função usando a fórmula do Laplaciano em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender a fórmula do Laplaciano em coordenadas esféricas e ver como ela se simplifica quando a função depende apenas de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão geral do Laplaciano em coordenadas esféricas. A fórmula completa é:
Essa fórmula leva em conta como a função muda nas três direções em coordenadas esféricas: radial ( ), polar ( ) e azimutal ( ).

Passo 3

Agora, como a função é esfericamente simétrica, ela não depende de nem de . Ou seja, as derivadas parciais de em relação a e são zero:
Isso simplifica a expressão do Laplaciano, já que os termos que envolvem essas derivadas desaparecem.

Passo 4

Substituindo essas derivações na fórmula do Laplaciano, ficamos apenas com a parte radial:
Aqui, usamos a notação de derivada total em vez de parcial, já que só depende de .

Passo 5

Para deixar ainda mais claro, vamos expandir essa expressão:
Então, o Laplaciano de uma função esfericamente simétrica reduz a essa combinação das primeiras e segundas derivadas em relação a .

Resposta

Para uma função esfericamente simétrica , o Laplaciano em coordenadas esféricas é dado por

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