Um importante ferramenta no desenvolvimento do tensor de deformação foi a decomposição (16.79) da matriz em suas partes simétrica e antissimétrica. Mostre que esta decomposição é única. [Sugestão: mostre que se , onde e são, respectivamente, as partes antissimétrica e a simétrica, então e .]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a decomposição de uma matriz em suas partes simétrica ( ) e antissimétrica ( ) é única. Isso está relacionado ao estudo de tensores e matrizes na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar uma matriz em suas partes simétrica e antissimétrica e provar que essa separação não pode ser feita de outra maneira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são matrizes simétricas e antissimétricas. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Por outro lado, uma matriz é antissimétrica se a sua transposta for igual ao negativo dela, .

Passo 3

Agora, vamos supor que podemos escrever qualquer matriz como a soma de uma parte simétrica e uma antissimétrica:
Onde é simétrica e é antissimétrica.

Passo 4

A próxima etapa é encontrar expressões para e . Vamos manipular a equação acima:
Transpondo ambos os lados:
Como é simétrica, , e , então:

Passo 5

Agora temos duas equações para :
Igualando as duas expressões:
Resolvendo para :
Logo:

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar substituindo de volta:

Passo 7

Então, vimos que qualquer matriz pode ser decomposta de maneira única utilizando:
Essa decomposição não pode ser feita de outra forma, o que significa que ela é única.

Resposta

A decomposição da matriz em suas partes simétrica e antissimétrica é única, sendo dada por:

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