Um importante ferramenta no desenvolvimento do tensor de deformação foi a decomposição (16.79) da matriz
em suas partes simétrica e antissimétrica. Mostre que esta decomposição é única. [Sugestão: mostre que se
, onde
e
são, respectivamente, as partes antissimétrica e a simétrica, então
e
.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a decomposição de uma matriz
em suas partes simétrica (
) e antissimétrica (
) é única. Isso está relacionado ao estudo de tensores e matrizes na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar uma matriz em suas partes simétrica e antissimétrica e provar que essa separação não pode ser feita de outra maneira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são matrizes simétricas e antissimétricas. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. Por outro lado, uma matriz é antissimétrica se a sua transposta for igual ao negativo dela,
.
Passo 3
Agora, vamos supor que podemos escrever qualquer matriz
como a soma de uma parte simétrica e uma antissimétrica:
Onde
é simétrica e
é antissimétrica.
Passo 4
A próxima etapa é encontrar expressões para
e
. Vamos manipular a equação acima:
Transpondo ambos os lados:
Como
é simétrica,
, e
, então:
Passo 5
Agora temos duas equações para
:
Igualando as duas expressões:
Resolvendo para
:
Logo:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar
substituindo de volta:
Passo 7
Então, vimos que qualquer matriz
pode ser decomposta de maneira única utilizando:
Essa decomposição não pode ser feita de outra forma, o que significa que ela é única.
Resposta
A decomposição da matriz
em suas partes simétrica e antissimétrica é única, sendo dada por: