Seja qualquer função com as duas primeiras derivadas e e seja um vetor unitário fixo e arbitrário. © Discuta que representa um sinal que é constante em qualquer plano perpendicular a (para qualquer tempo fixo) e se propaga rigidamente com velocidade na direção de .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função que depende de , onde é definido como . A função tem duas derivadas primeiras, ou seja, e . Também, é um vetor unitário fixo e qualquer. A pergunta quer que a gente discuta como a expressão representa um sinal que é constante em planos perpendiculares a para um tempo fixo e se propaga com velocidade na direção de . Vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial e de propagação de ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é um vetor unitário, ou seja, tem comprimento 1, e é o vetor posição. O produto escalar nos dá a projeção de na direção de . Isso basicamente nos informa a distância ao longo da direção de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Para um tempo fixo , a expressão dentro da função é constante quando é constante. Geometricamente, isso significa que estamos olhando para todos os pontos que estão a uma mesma distância ao longo da direção de . Esses pontos formam um plano perpendicular a .

Passo 4

Como é constante para todos os pontos em um plano perpendicular a quando é fixo, isso indica que o sinal não varia dentro desse plano. Ou seja, o sinal é constante em qualquer plano perpendicular a .

Passo 5

Para ver como o sinal se propaga, olhamos para a parte na expressão. Conforme o tempo aumenta, para que a expressão permaneça constante, a posição deve aumentar de maneira que compense o aumento de . Isso significa que o sinal se move na direção de com uma velocidade , já que multiplica o tempo .

Resposta

Portanto, a expressão representa um sinal que é constante em qualquer plano perpendicular a para um tempo fixo e se propaga rigidamente com velocidade na direção de .

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