Seja
qualquer função com as duas primeiras derivadas
e
e seja
um vetor unitário fixo e arbitrário. © Discuta que
representa um sinal que é constante em qualquer plano perpendicular a
(para qualquer tempo
fixo) e se propaga rigidamente com velocidade
na direção de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função
que depende de
, onde
é definido como
. A função
tem duas derivadas primeiras, ou seja,
e
. Também,
é um vetor unitário fixo e qualquer. A pergunta quer que a gente discuta como a expressão
representa um sinal que é constante em planos perpendiculares a
para um tempo fixo
e se propaga com velocidade
na direção de
. Vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial e de propagação de ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é um vetor unitário, ou seja, tem comprimento 1, e
é o vetor posição. O produto escalar
nos dá a projeção de
na direção de
. Isso basicamente nos informa a distância ao longo da direção de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Para um tempo fixo
, a expressão dentro da função
é constante quando
é constante. Geometricamente, isso significa que estamos olhando para todos os pontos
que estão a uma mesma distância ao longo da direção de
. Esses pontos formam um plano perpendicular a
.
Passo 4
Como
é constante para todos os pontos em um plano perpendicular a
quando
é fixo, isso indica que o sinal não varia dentro desse plano. Ou seja, o sinal é constante em qualquer plano perpendicular a
.
Passo 5
Para ver como o sinal se propaga, olhamos para a parte
na expressão. Conforme o tempo
aumenta, para que a expressão
permaneça constante, a posição
deve aumentar de maneira que compense o aumento de
. Isso significa que o sinal se move na direção de
com uma velocidade
, já que
multiplica o tempo
.
Resposta
Portanto, a expressão
representa um sinal que é constante em qualquer plano perpendicular a
para um tempo fixo
e se propaga rigidamente com velocidade
na direção de
.