Observando que , demonstre que o determinante de uma matriz hermitiana é real, que o determinante de uma matriz unitária tem módulo 1 (e por isso leva esse nome) e que o determinante de uma matriz ortogonal é +1 ou -1 .
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Queremos mostrar três coisas sobre determinantes de certos tipos de matrizes:
O determinante de uma matriz hermitiana é real.
O determinante de uma matriz unitária tem módulo 1.
O determinante de uma matriz ortogonal é +1 ou -1.
Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades básicas de determinantes e das matrizes hermitianas, unitárias e ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre matrizes hermitianas. Uma matriz hermitiana satisfaz , onde é a matriz conjugada transposta de .
Uma propriedade importante das matrizes hermitianas é que seus autovalores são reais. Como o determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores, isso implica que o determinante de uma matriz hermitiana também é real.
Passo 3
Agora, vamos verificar que o determinante de uma matriz hermitiana é real. Sabemos que porque é hermitiana ().
Além disso, para qualquer matriz, , onde o sobrelinha indica o conjugado complexo. Assim, temos:
Isso significa que é igual ao seu próprio conjugado, o que só é possível se for um número real.
Passo 4
Agora, vamos para matrizes unitárias. Uma matriz é unitária se , onde é a matriz identidade.
Queremos mostrar que . Vamos calcular o determinante de ambos os lados da equação :
Usando a propriedade de determinantes de produtos, temos:
Sabemos que , então:
Portanto, .
Passo 5
Por fim, vamos considerar matrizes ortogonais. Uma matriz é ortogonal se , onde é a transposta de .
Queremos mostrar que . Calculando o determinante de ambos os lados da equação :
Usando a propriedade de determinantes de produtos e sabendo que , temos:
Portanto, .
Resposta
O determinante de uma matriz hermitiana é real.
O determinante de uma matriz unitária tem módulo igual a 1.
O determinante de uma matriz ortogonal é +1 ou -1.
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo Apêndice.3 - Ex. Problema A. 13