Observando que , demonstre que o determinante de uma matriz hermitiana é real, que o determinante de uma matriz unitária tem módulo 1 (e por isso leva esse nome) e que o determinante de uma matriz ortogonal é +1 ou -1 .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Queremos mostrar três coisas sobre determinantes de certos tipos de matrizes:
  1. O determinante de uma matriz hermitiana é real.
  2. O determinante de uma matriz unitária tem módulo 1.
  3. O determinante de uma matriz ortogonal é +1 ou -1.
Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades básicas de determinantes e das matrizes hermitianas, unitárias e ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre matrizes hermitianas. Uma matriz hermitiana satisfaz , onde é a matriz conjugada transposta de .
Uma propriedade importante das matrizes hermitianas é que seus autovalores são reais. Como o determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores, isso implica que o determinante de uma matriz hermitiana também é real.

Passo 3

Agora, vamos verificar que o determinante de uma matriz hermitiana é real. Sabemos que porque é hermitiana ( ).
Além disso, para qualquer matriz, , onde o sobrelinha indica o conjugado complexo. Assim, temos:
Isso significa que é igual ao seu próprio conjugado, o que só é possível se for um número real.

Passo 4

Agora, vamos para matrizes unitárias. Uma matriz é unitária se , onde é a matriz identidade.
Queremos mostrar que . Vamos calcular o determinante de ambos os lados da equação :
Usando a propriedade de determinantes de produtos, temos:
Sabemos que , então:
Portanto, .

Passo 5

Por fim, vamos considerar matrizes ortogonais. Uma matriz é ortogonal se , onde é a transposta de .
Queremos mostrar que . Calculando o determinante de ambos os lados da equação :
Usando a propriedade de determinantes de produtos e sabendo que , temos:
Portanto, .

Resposta

  • O determinante de uma matriz hermitiana é real.
  • O determinante de uma matriz unitária tem módulo igual a 1.
  • O determinante de uma matriz ortogonal é +1 ou -1.

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