Q|C A velocidade de uma onda unidimensional compressional se propagando ao longo de uma barra fina de cobre é . Um forte golpe é dado em uma de suas extremidades. Um ouvinte na outra extremidade da barra escuta o som duas vezes, transmitido através do metal e pelo ar, com um intervalo de tempo entre os dois pulsos. (b) Encontre o comprimento da barra em função de .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma barra fina de cobre pela qual uma onda de compressão está se propagando a uma velocidade de . Quando alguém dá um golpe forte em uma das extremidades da barra, um ouvinte na outra ponta ouve dois sons: um que viaja pelo metal e outro que viaja pelo ar. A diferença de tempo entre esses dois sons é . Nosso objetivo é descobrir o comprimento da barra em função desse .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que temos duas velocidades envolvidas aqui: a velocidade do som no cobre ( ) e a velocidade do som no ar ( ). A velocidade do som no cobre já foi dada: . Precisamos também saber a velocidade do som no ar para continuar. Geralmente, a velocidade do som no ar é cerca de , mas vamos usar para manter geral.

Passo 3

Vamos chamar o comprimento da barra de . O tempo que o som leva para viajar pelo cobre é e pelo ar é .

Passo 4

A diferença de tempo entre os dois sons é . Substituindo as expressões dos tempos, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, fatoramos :

Passo 6

Isolando , temos:

Passo 7

Para simplificar, podemos reescrever o denominador combinando as frações:
Então:

Resposta

O comprimento da barra é dado por:

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