Revisão. Para certo tipo de aço, a deformação é sempre proporcional à tensão com o módulo de Young
. O aço tem densidade de
. Ele falhará, dobrando permanentemente, se submetido a tensões de compressão maiores que seu limite de elasticidade
. Uma barra de 80,0 centímetros de comprimento, feita desse aço, é disparada a
em linha reta diretamente em uma parede muito rígida. (f) Se não falhar, qual é a velocidade de impacto máximo que uma barra pode ter em termos de
e
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos um problema de física envolvendo materiais, mais especificamente as propriedades do aço quando submetido a tensões. A gente vai precisar usar conceitos como Módulo de Young, densidade, tensão e deformação. Nossa missão aqui é descobrir qual é a velocidade máxima que a barra de aço pode ter ao impactar uma parede sem falhar, ou seja, sem que ela sofra uma deformação permanente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa não falhar. A barra vai falhar quando a tensão aplicada nela ultrapassar o limite de elasticidade, que é
. Então, para não falhar, a tensão durante o impacto precisa ser menor ou igual a esse valor.
Passo 3
A tensão (
) é definida como a força (
) aplicada por unidade de área (
):
Mas, no impacto, a força não é constante; ela depende de como a barra desacelera ao bater na parede. Vamos precisar relacionar a força com a massa da barra e a aceleração.
Passo 4
A massa (
) da barra pode ser calculada usando a densidade (
) e o volume (
). Como a barra tem comprimento (
) de 80 cm (0,8 m) e vamos assumir que a área da seção transversal é
, então:
Passo 5
Quando a barra impacta a parede, ela desacelera rapidamente até parar. A mudança de velocidade (
) é
(a velocidade inicial) até 0. A aceleração (
) pode ser relacionada através da segunda lei de Newton:
E a aceleração também pode ser expressa como:
Onde
é o tempo de contato durante o impacto.
Passo 6
Mas, para simplificar, podemos relacionar a energia cinética da barra com a deformação elástica que ela sofre ao impactar a parede. A energia cinética inicial (
) da barra é:
Essa energia vai ser convertida em energia de deformação elástica, que depende do Módulo de Young (
) e da deformação (
):
Passo 7
A deformação (
) está relacionada à tensão e ao Módulo de Young pela fórmula:
Como queremos que a tensão máxima seja
, podemos substituir
na equação de energia elástica:
Passo 8
Igualando a energia cinética à energia elástica para encontrar a condição de não falha:
Podemos simplificar os
de ambos os lados:
Passo 9
Substituindo a massa
pela expressão
:
Os termos
aparecem dos dois lados e podem ser cancelados:
Passo 10
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A velocidade de impacto máximo que a barra pode ter sem falhar é: