Revisão. Para certo tipo de aço, a deformação é sempre proporcional à tensão com o módulo de Young . O aço tem densidade de . Ele falhará, dobrando permanentemente, se submetido a tensões de compressão maiores que seu limite de elasticidade . Uma barra de 80,0 centímetros de comprimento, feita desse aço, é disparada a em linha reta diretamente em uma parede muito rígida. (f) Se não falhar, qual é a velocidade de impacto máximo que uma barra pode ter em termos de e ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos um problema de física envolvendo materiais, mais especificamente as propriedades do aço quando submetido a tensões. A gente vai precisar usar conceitos como Módulo de Young, densidade, tensão e deformação. Nossa missão aqui é descobrir qual é a velocidade máxima que a barra de aço pode ter ao impactar uma parede sem falhar, ou seja, sem que ela sofra uma deformação permanente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa não falhar. A barra vai falhar quando a tensão aplicada nela ultrapassar o limite de elasticidade, que é . Então, para não falhar, a tensão durante o impacto precisa ser menor ou igual a esse valor.

Passo 3

A tensão ( ) é definida como a força ( ) aplicada por unidade de área ( ):
Mas, no impacto, a força não é constante; ela depende de como a barra desacelera ao bater na parede. Vamos precisar relacionar a força com a massa da barra e a aceleração.

Passo 4

A massa ( ) da barra pode ser calculada usando a densidade ( ) e o volume ( ). Como a barra tem comprimento ( ) de 80 cm (0,8 m) e vamos assumir que a área da seção transversal é , então:

Passo 5

Quando a barra impacta a parede, ela desacelera rapidamente até parar. A mudança de velocidade ( ) é (a velocidade inicial) até 0. A aceleração ( ) pode ser relacionada através da segunda lei de Newton:
E a aceleração também pode ser expressa como:
Onde é o tempo de contato durante o impacto.

Passo 6

Mas, para simplificar, podemos relacionar a energia cinética da barra com a deformação elástica que ela sofre ao impactar a parede. A energia cinética inicial ( ) da barra é:
Essa energia vai ser convertida em energia de deformação elástica, que depende do Módulo de Young ( ) e da deformação ( ):

Passo 7

A deformação ( ) está relacionada à tensão e ao Módulo de Young pela fórmula:
Como queremos que a tensão máxima seja , podemos substituir na equação de energia elástica:

Passo 8

Igualando a energia cinética à energia elástica para encontrar a condição de não falha:
Podemos simplificar os de ambos os lados:

Passo 9

Substituindo a massa pela expressão :
Os termos aparecem dos dois lados e podem ser cancelados:

Passo 10

Agora, resolvemos para :

Resposta

A velocidade de impacto máximo que a barra pode ter sem falhar é:

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