S Revisão. Um cabo de comprimento
, módulo de Young
e área da seção transversal
é esticado elasticamente a uma quantidade
. Pela lei de Hooke, a força de restauração é
. (b) Mostre que o trabalho realizado para esticar o cabo a uma quantidade
é
.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido na questão. Temos um cabo com comprimento inicial
, módulo de Young
e área da seção transversal
. Esse cabo é esticado de forma elástica, aumentando seu comprimento em
. A força de restauração que age no cabo segue a lei de Hooke, dada por
, onde
é a constante elástica do cabo.
O que precisamos mostrar é que o trabalho realizado para esticar o cabo nessa quantidade
é igual a
.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
- Lei de Hooke: Relaciona a força exercida por uma mola ou cabo elástico com a deformação que ela sofre.
- Trabalho (W): Energia transferida por uma força atuando ao longo de um deslocamento.
- Módulo de Young (Y): Mede a rigidez de um material, relacionando tensão e deformação na região elástica.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a força
em função da deformação
. Pela lei de Hooke:
Aqui,
é a constante elástica do cabo. Mas como calcular
? Sabemos que o módulo de Young
está relacionado com a constante elástica pela fórmula:
Substituindo isso na expressão da força:
Passo 3
Agora, vamos calcular o trabalho realizado para esticar o cabo de
até
. O trabalho
é dado pela integral da força em relação ao deslocamento:
Substituindo a expressão da força que encontramos:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O trabalho realizado para esticar o cabo na quantidade
é: