S Revisão. Um cabo de comprimento , módulo de Young e área da seção transversal é esticado elasticamente a uma quantidade . Pela lei de Hooke, a força de restauração é . (b) Mostre que o trabalho realizado para esticar o cabo a uma quantidade é .

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido na questão. Temos um cabo com comprimento inicial , módulo de Young e área da seção transversal . Esse cabo é esticado de forma elástica, aumentando seu comprimento em . A força de restauração que age no cabo segue a lei de Hooke, dada por , onde é a constante elástica do cabo.
O que precisamos mostrar é que o trabalho realizado para esticar o cabo nessa quantidade é igual a .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Lei de Hooke: Relaciona a força exercida por uma mola ou cabo elástico com a deformação que ela sofre.
  • Trabalho (W): Energia transferida por uma força atuando ao longo de um deslocamento.
  • Módulo de Young (Y): Mede a rigidez de um material, relacionando tensão e deformação na região elástica.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a força em função da deformação . Pela lei de Hooke:
Aqui, é a constante elástica do cabo. Mas como calcular ? Sabemos que o módulo de Young está relacionado com a constante elástica pela fórmula:
Substituindo isso na expressão da força:

Passo 3

Agora, vamos calcular o trabalho realizado para esticar o cabo de até . O trabalho é dado pela integral da força em relação ao deslocamento:
Substituindo a expressão da força que encontramos:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O trabalho realizado para esticar o cabo na quantidade é:

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