S Revisão. Um cabo de comprimento , módulo de Young e área da seção transversal é esticado elasticamente a uma quantidade . Pela lei de Hooke, a força de restauração é . Mostre que o trabalho realizado para esticar o cabo a uma quantidade é .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um cabo com comprimento inicial , módulo de Young e área da seção transversal . Esse cabo é esticado uma quantidade de forma elástica, ou seja, sem quebrar. A força de restauração, segundo a lei de Hooke, é dada por . O que a gente precisa mostrar é que o trabalho realizado para esticar o cabo nessa quantidade é .
Vamos usar conceitos de física sobre elasticidade e trabalho realizado por uma força variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da lei de Hooke, que relaciona a força com a deformação de um material elástico. A lei diz que , onde é a constante elástica do material. Nesse caso, está relacionado ao módulo de Young , à área da seção transversal e ao comprimento inicial do cabo pela relação .

Passo 3

Agora, para calcular o trabalho realizado para esticar o cabo, precisamos integrar a força ao longo da deformação. Como a força varia linearmente com , o trabalho realizado é a área sob a curva força-deformação.
Matematicamente, isso é expresso como:
Substituindo pela expressão da lei de Hooke:

Passo 4

Vamos agora substituir pela expressão em termos de , e :
Isso simplifica para:

Passo 5

Resolvendo a integral:
Então, o trabalho fica:
Simplificando, temos:

Resposta

O trabalho realizado para esticar o cabo é .

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