S Revisão. Um cabo de comprimento
, módulo de Young
e área da seção transversal
é esticado elasticamente a uma quantidade
. Pela lei de Hooke, a força de restauração é
. Mostre que o trabalho realizado para esticar o cabo a uma quantidade
é
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um cabo com comprimento inicial
, módulo de Young
e área da seção transversal
. Esse cabo é esticado uma quantidade
de forma elástica, ou seja, sem quebrar. A força de restauração, segundo a lei de Hooke, é dada por
. O que a gente precisa mostrar é que o trabalho realizado para esticar o cabo nessa quantidade
é
.
Vamos usar conceitos de física sobre elasticidade e trabalho realizado por uma força variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da lei de Hooke, que relaciona a força
com a deformação
de um material elástico. A lei diz que
, onde
é a constante elástica do material. Nesse caso,
está relacionado ao módulo de Young
, à área da seção transversal
e ao comprimento inicial
do cabo pela relação
.
Passo 3
Agora, para calcular o trabalho
realizado para esticar o cabo, precisamos integrar a força ao longo da deformação. Como a força varia linearmente com
, o trabalho realizado é a área sob a curva força-deformação.
Matematicamente, isso é expresso como:
Substituindo
pela expressão da lei de Hooke:
Passo 4
Vamos agora substituir
pela expressão em termos de
,
e
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Resolvendo a integral:
Então, o trabalho fica:
Simplificando, temos:
Resposta
O trabalho realizado para esticar o cabo é
.