Um poste uniforme é sustentado entre o piso e o teto de uma sala. A altura da sala é 7,80 pés e o coeficiente de atrito estático entre o poste e o teto, 0,576 . O coeficiente de atrito estático entre o poste e o piso é maior que o coeficiente entre eles. Qual é o comprimento mais longo do poste que pode ser apoiado entre o piso e o teto?

Passo 1

Então, temos um poste uniforme que está apoiado entre o chão e o teto de uma sala. A altura da sala é de 7,80 pés. Sabemos que o coeficiente de atrito estático entre o poste e o teto é 0,576, e o coeficiente de atrito entre o poste e o chão é maior que esse valor. Nosso objetivo é descobrir qual é o comprimento mais longo que esse poste pode ter para permanecer apoiado sem escorregar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática, especialmente sobre forças de atrito e equilíbrio de torques.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as forças atuando no poste. Como o poste está em equilíbrio, a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser igual a zero, e a soma dos torques também deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos identificar as forças principais:
  • Peso §: age para baixo no centro de massa do poste.
  • Normal no chão (N₁): perpendicular ao chão, para cima.
  • Normal no teto (N₂): perpendicular ao teto, para baixo.
  • Força de atrito no chão (f₁): paralela ao chão, impedindo o deslizamento.
  • Força de atrito no teto (f₂): paralela ao teto, impedindo o deslizamento.

Passo 4

Sabemos que as forças de atrito são dadas por:
onde é o coeficiente de atrito e é a força normal.

Passo 5

Como o poste está em equilíbrio, a soma das forças verticais deve ser zero:
E a soma das forças horizontais também deve ser zero:

Passo 6

Substituindo as forças de atrito:
Como , podemos substituir:

Passo 7

Vamos considerar os torques em relação ao chão para eliminar . O torque devido ao peso será:
e o torque devido na força de atrito no teto será:
Para equilíbrio:

Passo 8

Substituindo as expressões:
Simplificando de ambos os lados:

Passo 9

Usando e a relação , podemos resolver para :

Passo 10

Substituindo na equação do passo 8:
Cancelando e rearranjando:

Passo 11

Agora, precisamos relacionar o comprimento do poste com a altura da sala . Usando trigonometria:
Então:

Passo 12

Substituindo na equação anterior:

Passo 13

Finalmente, substituindo tudo para encontrar :

Resposta

O comprimento mais longo do poste que pode ser apoiado entre o piso e o teto é:
Onde é o coeficiente de atrito estático entre o poste e o piso.

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