Um poste uniforme é sustentado entre o piso e o teto de uma sala. A altura da sala é 7,80 pés e o coeficiente de atrito estático entre o poste e o teto, 0,576 . O coeficiente de atrito estático entre o poste e o piso é maior que o coeficiente entre eles. Qual é o comprimento mais longo do poste que pode ser apoiado entre o piso e o teto?
Passo 1
Então, temos um poste uniforme que está apoiado entre o chão e o teto de uma sala. A altura da sala é de 7,80 pés. Sabemos que o coeficiente de atrito estático entre o poste e o teto é 0,576, e o coeficiente de atrito entre o poste e o chão é maior que esse valor. Nosso objetivo é descobrir qual é o comprimento mais longo que esse poste pode ter para permanecer apoiado sem escorregar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática, especialmente sobre forças de atrito e equilíbrio de torques.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar as forças atuando no poste. Como o poste está em equilíbrio, a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser igual a zero, e a soma dos torques também deve ser igual a zero.
Passo 3
Vamos identificar as forças principais:
- Peso §: age para baixo no centro de massa do poste.
- Normal no chão (N₁): perpendicular ao chão, para cima.
- Normal no teto (N₂): perpendicular ao teto, para baixo.
- Força de atrito no chão (f₁): paralela ao chão, impedindo o deslizamento.
- Força de atrito no teto (f₂): paralela ao teto, impedindo o deslizamento.
Passo 4
Sabemos que as forças de atrito são dadas por:
onde
é o coeficiente de atrito e
é a força normal.
Passo 5
Como o poste está em equilíbrio, a soma das forças verticais deve ser zero:
E a soma das forças horizontais também deve ser zero:
Passo 6
Substituindo as forças de atrito:
Como
, podemos substituir:
Passo 7
Vamos considerar os torques em relação ao chão para eliminar
. O torque devido ao peso será:
e o torque devido na força de atrito no teto será:
Para equilíbrio:
Passo 8
Substituindo as expressões:
Simplificando
de ambos os lados:
Passo 9
Usando
e a relação
, podemos resolver para
:
Passo 10
Substituindo
na equação do passo 8:
Cancelando
e rearranjando:
Passo 11
Agora, precisamos relacionar o comprimento do poste
com a altura da sala
. Usando trigonometria:
Então:
Passo 12
Substituindo
na equação anterior:
Passo 13
Finalmente, substituindo tudo para encontrar
:
Resposta
O comprimento mais longo do poste que pode ser apoiado entre o piso e o teto é:
Onde
é o coeficiente de atrito estático entre o poste e o piso.