Revisão. Um fio de alumínio tem de comprimento e seção transversal de de diâmetro. Fixado na extremidade superior, o fio suporta um corpo de que balança em um círculo horizontal. Determine a velocidade angular do corpo necessária para produzir uma deformação de .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema pede. Temos um fio de alumínio com comprimento de e diâmetro de . Esse fio está fixado na parte de cima e segura um corpo de massa que está girando em um círculo horizontal. A gente quer descobrir qual a velocidade angular que esse corpo precisa ter para causar uma deformação de no fio.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física como força centrípeta, tensão no fio e a relação entre tensão e deformação usando o Módulo de Young. Vamos também precisar de algumas fórmulas matemáticas básicas para relacionar essas grandezas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está causando a deformação no fio. Quando o corpo está girando, ele exerce uma força centrípeta que puxa o fio para fora, causando uma tensão nele. Essa tensão faz com que o fio se estique, resultando na deformação desejada.
Passo 3
Vamos calcular a força centrípeta () que o corpo exerce no fio. A força centrípeta é dada por:
Onde:
é a massa do corpo (),
é a velocidade angular que queremos encontrar,
é o raio da trajetória circular, que neste caso é igual ao comprimento do fio ().
Passo 4
Agora, vamos relacionar a força centrípeta com a tensão no fio. A tensão () no fio é responsável pela deformação, e está relacionada ao alongamento () por meio do Módulo de Young ():
Onde:
é o comprimento original do fio (),
é a deformação (),
para o alumínio é aproximadamente .
Passo 5
A tensão no fio também é igual à força centrípeta dividida pela área da seção transversal do fio ():
Vamos calcular a área da seção transversal do fio. O fio é circular, então:
Onde é o diâmetro do fio ().
Passo 6
Vamos calcular a área :
Passo 7
Agora, igualamos as duas expressões para a tensão:
Substituindo pela expressão da força centrípeta:
Passo 8
Isolando na equação para encontrar a velocidade angular:
Passo 9
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Passo 10
Calculando dentro da raiz:
Primeiro, simplificando os termos:
Então:
Calculando o numerador:
Então:
Resposta
A velocidade angular necessária é aproximadamente .
Física - Serway e Jewett - Física para cientistas e engenheiros - Vol1 - 1ª Edição - Capítulo 12.Problemas - Ex. 63