Revisão. Um fio de alumínio tem de comprimento e seção transversal de de diâmetro. Fixado na extremidade superior, o fio suporta um corpo de que balança em um círculo horizontal. Determine a velocidade angular do corpo necessária para produzir uma deformação de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema pede. Temos um fio de alumínio com comprimento de e diâmetro de . Esse fio está fixado na parte de cima e segura um corpo de massa que está girando em um círculo horizontal. A gente quer descobrir qual a velocidade angular que esse corpo precisa ter para causar uma deformação de no fio.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física como força centrípeta, tensão no fio e a relação entre tensão e deformação usando o Módulo de Young. Vamos também precisar de algumas fórmulas matemáticas básicas para relacionar essas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está causando a deformação no fio. Quando o corpo está girando, ele exerce uma força centrípeta que puxa o fio para fora, causando uma tensão nele. Essa tensão faz com que o fio se estique, resultando na deformação desejada.

Passo 3

Vamos calcular a força centrípeta ( ) que o corpo exerce no fio. A força centrípeta é dada por:
Onde:
  • é a massa do corpo ( ),
  • é a velocidade angular que queremos encontrar,
  • é o raio da trajetória circular, que neste caso é igual ao comprimento do fio ( ).

Passo 4

Agora, vamos relacionar a força centrípeta com a tensão no fio. A tensão ( ) no fio é responsável pela deformação, e está relacionada ao alongamento ( ) por meio do Módulo de Young ( ):
Onde:
  • é o comprimento original do fio ( ),
  • é a deformação ( ),
  • para o alumínio é aproximadamente .

Passo 5

A tensão no fio também é igual à força centrípeta dividida pela área da seção transversal do fio ( ):
Vamos calcular a área da seção transversal do fio. O fio é circular, então:
Onde é o diâmetro do fio ( ).

Passo 6

Vamos calcular a área :

Passo 7

Agora, igualamos as duas expressões para a tensão:
Substituindo pela expressão da força centrípeta:

Passo 8

Isolando na equação para encontrar a velocidade angular:

Passo 9

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:

Passo 10

Calculando dentro da raiz:
Primeiro, simplificando os termos:
Então:
Calculando o numerador:
Então:

Resposta

A velocidade angular necessária é aproximadamente .

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