Seja
uma função arbitrária (duas vezes derivável). Mostre pela substituição direta que
é uma solução da equação de onda (16.4).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função qualquer
, que pode ser derivada duas vezes. O objetivo é mostrar, substituindo diretamente, que
resolve a equação da onda. Para isso, vamos precisar conhecer a equação da onda e saber como derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação da onda. Em uma dimensão, a equação da onda é dada por:
Onde:
-
é a função que descreve a onda, -
é a velocidade da onda, -
é a segunda derivada de em relação ao tempo, -
é a segunda derivada de em relação ao espaço.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função que queremos testar,
. Vamos chamar
para simplificar as derivadas.
Passo 4
Primeiro, calculamos a primeira derivada de
em relação ao tempo
:
Passo 5
Em seguida, calculamos a segunda derivada de
em relação ao tempo
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação ao espaço
:
Passo 7
E a segunda derivada de
em relação ao espaço
:
Passo 8
Agora, substituímos as derivadas na equação da onda:
Substituindo os valores que encontramos:
Ambos os lados são iguais, o que confirma que
é, de fato, uma solução da equação da onda.
Resposta
Portanto, mostramos que
satisfaz a equação da onda, confirmando que é uma solução válida.