Seja uma função arbitrária (duas vezes derivável). Mostre pela substituição direta que é uma solução da equação de onda (16.4).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função qualquer , que pode ser derivada duas vezes. O objetivo é mostrar, substituindo diretamente, que resolve a equação da onda. Para isso, vamos precisar conhecer a equação da onda e saber como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação da onda. Em uma dimensão, a equação da onda é dada por:
Onde:
  • é a função que descreve a onda,
  • é a velocidade da onda,
  • é a segunda derivada de em relação ao tempo,
  • é a segunda derivada de em relação ao espaço.

Passo 3

Agora, vamos considerar a função que queremos testar, . Vamos chamar para simplificar as derivadas.

Passo 4

Primeiro, calculamos a primeira derivada de em relação ao tempo :

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda derivada de em relação ao tempo :

Passo 6

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação ao espaço :

Passo 7

E a segunda derivada de em relação ao espaço :

Passo 8

Agora, substituímos as derivadas na equação da onda:
Substituindo os valores que encontramos:
Ambos os lados são iguais, o que confirma que é, de fato, uma solução da equação da onda.

Resposta

Portanto, mostramos que satisfaz a equação da onda, confirmando que é uma solução válida.

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