Determinar a velocidade do som no ar usando o resultado (16.140) requer um pequeno cuidado. (Mesmo o grande Newton obteve isso errado!) O problema é decidir sobre o valor correto do módulo de compressibilidade do ar. Como as vibrações são muito rápidas, não há tempo para a transferência de calor e o ar expande e contrai adiabaticamente, de modo que
constante, onde
é a chamada “razão de calor específico”,
para o ar. (a) Mostre que o módulo de compressibilidade é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o módulo de compressibilidade do ar é igual a
, onde
é a razão de calor específico e
é a pressão. Estamos lidando com termodinâmica, mais especificamente com processos adiabáticos. Vamos precisar entender como a compressibilidade funciona em processos adiabáticos para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um processo adiabático. É aquele onde não ocorre troca de calor com o ambiente, ou seja,
. Nessas condições, a relação entre pressão e volume é dada por
, onde
é a razão dos calores específicos (
).
Passo 3
Agora, para encontrar o módulo de compressibilidade, precisamos entender que ele está relacionado à variação de pressão com a variação de volume. O módulo de compressibilidade
pode ser definido como:
Aqui, o sinal negativo assegura que
seja sempre positivo, já que pressão aumenta quando o volume diminui.
Passo 4
Vamos derivar a expressão
em relação ao volume
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão do módulo de compressibilidade:
Resposta
Portanto, mostramos que o módulo de compressibilidade do ar é
.