Determinar a velocidade do som no ar usando o resultado (16.140) requer um pequeno cuidado. (Mesmo o grande Newton obteve isso errado!) O problema é decidir sobre o valor correto do módulo de compressibilidade do ar. Como as vibrações são muito rápidas, não há tempo para a transferência de calor e o ar expande e contrai adiabaticamente, de modo que constante, onde é a chamada “razão de calor específico”, para o ar. (a) Mostre que o módulo de compressibilidade é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o módulo de compressibilidade do ar é igual a , onde é a razão de calor específico e é a pressão. Estamos lidando com termodinâmica, mais especificamente com processos adiabáticos. Vamos precisar entender como a compressibilidade funciona em processos adiabáticos para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um processo adiabático. É aquele onde não ocorre troca de calor com o ambiente, ou seja, . Nessas condições, a relação entre pressão e volume é dada por , onde é a razão dos calores específicos ( ).

Passo 3

Agora, para encontrar o módulo de compressibilidade, precisamos entender que ele está relacionado à variação de pressão com a variação de volume. O módulo de compressibilidade pode ser definido como:
á
Aqui, o sinal negativo assegura que seja sempre positivo, já que pressão aumenta quando o volume diminui.

Passo 4

Vamos derivar a expressão em relação ao volume :
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Isolando :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, substituímos na expressão do módulo de compressibilidade:

Resposta

Portanto, mostramos que o módulo de compressibilidade do ar é .

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