qualquer função esfericamente simétrica, isto é, quando expressa em coordenadas esféricas , ela tem a forma , independente de . (a) Começando da definição (16.38) de , mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função esfericamente simétrica , que depende só de em coordenadas esféricas . Nosso objetivo aqui é mostrar que o Laplaciano dessa função, , pode ser escrito como:
Para resolver isso, vamos usar a definição do Laplaciano em coordenadas esféricas e explorar as propriedades de funções esfericamente simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma do Laplaciano em coordenadas esféricas. A definição geral do Laplaciano de uma função é:
Mas como nossa função é esfericamente simétrica, ela não depende de nem de . Ou seja, . Isso simplifica bastante as coisas!

Passo 3

Como não depende de e , as derivadas parciais em relação a essas coordenadas vão ser zero:
Portanto, os termos que envolvem derivadas em e no Laplaciano desaparecem, restando apenas a parte radial:

Passo 4

Agora, vamos focar nesse termo restante. Precisamos simplificar a expressão:
Para facilitar, vamos expandir a derivada dentro dos parênteses usando a regra do produto:
Substituindo de volta na expressão do Laplaciano:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão dividindo cada termo por :
Agora, queremos expressar isso de uma forma que envolva . Vamos considerar a derivada segunda de com relação a :

Passo 6

Observando a expressão que obtivemos para , podemos relacionar com o Laplaciano:
Assim, mostramos que:

Resposta

Portanto, para uma função esfericamente simétrica , o Laplaciano é dado por:

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