qualquer função esfericamente simétrica, isto é, quando expressa em coordenadas esféricas
, ela tem a forma
, independente de
. (a) Começando da definição (16.38) de
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função esfericamente simétrica
, que depende só de
em coordenadas esféricas
. Nosso objetivo aqui é mostrar que o Laplaciano dessa função,
, pode ser escrito como:
Para resolver isso, vamos usar a definição do Laplaciano em coordenadas esféricas e explorar as propriedades de funções esfericamente simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a forma do Laplaciano em coordenadas esféricas. A definição geral do Laplaciano de uma função
é:
Mas como nossa função é esfericamente simétrica, ela não depende de
nem de
. Ou seja,
. Isso simplifica bastante as coisas!
Passo 3
Como
não depende de
e
, as derivadas parciais em relação a essas coordenadas vão ser zero:
Portanto, os termos que envolvem derivadas em
e
no Laplaciano desaparecem, restando apenas a parte radial:
Passo 4
Agora, vamos focar nesse termo restante. Precisamos simplificar a expressão:
Para facilitar, vamos expandir a derivada dentro dos parênteses usando a regra do produto:
Substituindo de volta na expressão do Laplaciano:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão dividindo cada termo por
:
Agora, queremos expressar isso de uma forma que envolva
. Vamos considerar a derivada segunda de
com relação a
:
Passo 6
Observando a expressão que obtivemos para
, podemos relacionar com o Laplaciano:
Assim, mostramos que:
Resposta
Portanto, para uma função esfericamente simétrica
, o Laplaciano é dado por: