Sabe-se que o tensor de tensão em qualquer ponto em um certo meio contínuo tem a forma (com uma escolha de unidades conveniente não especificada)
Determine a força de superfície em uma pequena área da superfície no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um tensor de tensão, que é uma matriz que descreve como as forças internas estão distribuídas em um ponto específico de um material. Aqui, o tensor de tensão é dado por:
A pergunta quer saber qual é a força de superfície numa área bem pequena da superfície definida por no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender de tensor de tensão, vetores normais a superfícies e como calcular a força de superfície usando esses conceitos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto . A superfície é dada pela equação . O vetor normal a qualquer superfície definida por é dado pelo gradiente de :
No nosso caso, , então:
Então, o vetor normal é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor normal no ponto :
Esse é o vetor normal, mas para usar na fórmula da força de superfície, precisamos do vetor normal unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, vamos normalizar .
Passo 4
A normalização do vetor é feita dividindo cada componente pelo módulo do vetor. Calculamos o módulo assim:
Então, o vetor normal unitário é:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal unitário, vamos calcular a força de superfície. A força de superfície numa área é dada por:
Primeiro, vamos multiplicar o tensor de tensão pela normal unitária:
No ponto :
Multiplicando por :
Passo 6
Agora, a força de superfície é essa tração multiplicada pela área:
Resposta
A força de superfície na pequena área no ponto é:
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 16.Problemas - Ex. 16.20