Numa fita de som, há um defeito em cada 200pés. Qual a probabilidade de que:
Em 500 pés não aconteça defeito?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre defeitos em uma fita de som, dizendo que há um defeito a cada 200 pés. Precisamos descobrir qual a probabilidade de, em 500 pés dessa fita, não acontecer nenhum defeito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição de Poisson, que é ótima para contar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de espaço ou tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = lambda^k , e^-lambdak!
Onde:
  • $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
  • $ \lambda $ é a taxa média de eventos no intervalo.
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

No nosso caso, queremos a probabilidade de não ter nenhum defeito em 500 pés. Isso significa que $ k = 0 $. Mas antes de aplicar a fórmula, precisamos encontrar $ \lambda $, a taxa média de defeitos em 500 pés.
Sabemos que há um defeito a cada 200 pés, então a taxa de defeitos por pé é $ \frac{1}{200} $. Para 500 pés, a taxa média $ \lambda $ será:
k = 0 éé

Passo 4

Agora, vamos aplicar os valores na fórmula de Poisson para $ k = 0 $ e $ \lambda = 2.5 $:
k = 0
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, e 0! também é 1. Simplificando:
lambda = 2.5

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor de $ e^{-2.5} $. Usando uma calculadora:
e^-2.5

Resposta

A probabilidade de que em 500 pés da fita de som não aconteça nenhum defeito é de aproximadamente 8,21%.

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