Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
Em R^4, v1=(0,1,0,1), v2=(1,0,1,0), v3=(2,0,1,3), v4=(0,0,0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que um conjunto de vetores em v1 = (0, 1, 0, 1), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (2, 0, 1, 3), v4 = (0, 0, 0, 0) é linearmente dependente. Os vetores dados são:
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e usar essa definição na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente dependente. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor desse conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Outra forma de ver isso é que existe uma combinação não trivial dos vetores que dá o vetor zero.

Passo 3

Agora, olhando para os vetores fornecidos, percebo que é o vetor zero, ou seja, . Isso já nos dá uma pista importante!

Passo 4

Se temos o vetor zero no conjunto, isso automaticamente significa que os vetores são linearmente dependentes. Por quê? Porque podemos escrever:
0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 + 1 cdot v4 = 0
Aqui, temos uma combinação não trivial (os coeficientes não são todos zero) que resulta no vetor zero.

Passo 5

Assim, não precisamos nem entrar em cálculos mais complicados ou verificar combinações mais complexas. A presença do vetor zero já garante a dependência linear do conjunto.

Resposta

Os vetores fornecidos são linearmente dependentes porque o vetor é o vetor zero.

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