Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que um conjunto de vetores em é linearmente dependente. Os vetores dados são:
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e usar essa definição na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente dependente. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor desse conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Outra forma de ver isso é que existe uma combinação não trivial dos vetores que dá o vetor zero.
Passo 3
Agora, olhando para os vetores fornecidos, percebo que é o vetor zero, ou seja, . Isso já nos dá uma pista importante!
Passo 4
Se temos o vetor zero no conjunto, isso automaticamente significa que os vetores são linearmente dependentes. Por quê? Porque podemos escrever:
Aqui, temos uma combinação não trivial (os coeficientes não são todos zero) que resulta no vetor zero.
Passo 5
Assim, não precisamos nem entrar em cálculos mais complicados ou verificar combinações mais complexas. A presença do vetor zero já garante a dependência linear do conjunto.
Resposta
Os vetores fornecidos são linearmente dependentes porque o vetor é o vetor zero.