Considere os seguintes subespaços vetoriais U e V de R^3 :
U=(x, y, z) in R^3 mid x+y=0 e V=(x, y, z) in R^3 mid z=0.
Determine:
b) U cap V e sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois subespaços vetoriais e no espaço tridimensional . O que a gente precisa descobrir é qual é a interseção desses dois subespaços, ou seja, todos os vetores que estão em e em ao mesmo tempo. Além disso, vamos identificar a dimensão desse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada subespaço representa.
  • Subespaço : É definido por . Isso significa que, em qualquer vetor de , a soma das coordenadas e é zero. Podemos reescrever isso como , então qualquer vetor em tem a forma , onde e podem ser quaisquer números reais.
  • Subespaço : É definido por . Aqui, todos os vetores têm a coordenada igual a zero, então eles têm a forma , onde e são quaisquer números reais.

Passo 3

Agora, para encontrar a interseção , precisamos identificar os vetores que satisfazem ambas as condições dos subespaços e simultaneamente.
Sabemos que:
  1. Em , temos .
  2. Em , temos .
Portanto, qualquer vetor em deve satisfazer e . Assim, os vetores na interseção têm a forma , onde pode ser qualquer número real.

Passo 4

Vamos expressar essa interseção de forma vetorial. Observamos que podemos fatorar (x, -x, 0) = x cdot (1, -1, 0) da seguinte maneira:
Isso mostra que todo vetor em é um múltiplo escalar do vetor . Portanto, a interseção é uma linha no espaço que passa pela origem e é direcionada pelo vetor .

Passo 5

Finalmente, vamos determinar a dimensão de . Como a interseção é formada por todos os múltiplos de um único vetor não nulo , ela forma uma reta, que é um subespaço de dimensão 1.

Resposta

A interseção U cap V = , x cdot (1,, -1,, 0) mid x in R , é o conjunto de todos os vetores da forma , onde . Ou seja,
A dimensão de é 1.

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