Considere os seguintes subespaços vetoriais
e
de
:
e
.
Determine:
b)
e sua dimensão.
Determine:
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois subespaços vetoriais
e
no espaço tridimensional
. O que a gente precisa descobrir é qual é a interseção desses dois subespaços, ou seja, todos os vetores que estão em
e em
ao mesmo tempo. Além disso, vamos identificar a dimensão desse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada subespaço representa.
-
Subespaço
: É definido por . Isso significa que, em qualquer vetor de , a soma das coordenadas e é zero. Podemos reescrever isso como , então qualquer vetor em tem a forma , onde e podem ser quaisquer números reais. -
Subespaço
: É definido por . Aqui, todos os vetores têm a coordenada igual a zero, então eles têm a forma , onde e são quaisquer números reais.
Passo 3
Agora, para encontrar a interseção
, precisamos identificar os vetores que satisfazem ambas as condições dos subespaços
e
simultaneamente.
Sabemos que:
- Em
, temos . - Em
, temos .
Portanto, qualquer vetor em
deve satisfazer
e
. Assim, os vetores na interseção têm a forma
, onde
pode ser qualquer número real.
Passo 4
Vamos expressar essa interseção de forma vetorial. Observamos que podemos fatorar
da seguinte maneira:
Isso mostra que todo vetor em
é um múltiplo escalar do vetor
. Portanto, a interseção
é uma linha no espaço
que passa pela origem e é direcionada pelo vetor
.
Passo 5
Finalmente, vamos determinar a dimensão de
. Como a interseção é formada por todos os múltiplos de um único vetor não nulo
, ela forma uma reta, que é um subespaço de dimensão 1.
Resposta
A interseção
é o conjunto de todos os vetores da forma
, onde
. Ou seja,
A dimensão de
é 1.