Seja T: V V, com f(x)=(x-4)^2(x+2)^4 seu polinômio característico.
  1. Quais são as possibilidades para dim S4 e dim S-2 ?
  2. Se T é diagonalizável, qual a dimensão de S4 e S-2 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você me mandou! Você tem uma transformação linear e o polinômio característico dela é . A gente precisa descobrir duas coisas:
  1. Quais são as possibilidades para as dimensões de e .
  2. Se for diagonalizável, qual será a dimensão de e .
Para resolver isso, vamos usar um pouco de teoria sobre polinômios característicos, multiplicidades algébricas e geométricas, e propriedade de diagonalização. Não se preocupe, vou explicar tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele é dado por , onde é a matriz identidade. As raízes desse polinômio são os autovalores da transformação .
No nosso caso, os autovalores são:
  • com multiplicidade algébrica 2 (porque )
  • com multiplicidade algébrica 4 (porque )
A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico. Já a multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço próprio associado a esse autovalor, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos para a primeira parte da pergunta:
1. Quais são as possibilidades para e ?
Sabendo que:
  • A multiplicidade geométrica de um autovalor é no mínimo 1 e no máximo sua multiplicidade algébrica.
Então:
  • Para com multiplicidade algébrica 2, a dimensão de pode ser 1 ou 2.
  • Para com multiplicidade algébrica 4, a dimensão de pode ser 1, 2, 3 ou 4.
Isso porque:

Passo 4

Agora, a segunda parte:
2. Se é diagonalizável, qual a dimensão de e ?
Uma transformação linear é diagonalizável se e somente se a multiplicidade geométrica de cada autovalor é igual à sua multiplicidade algébrica. Ou seja:
  • multiplicidade algébrica de , para todo autovalor .
Aplicando isso aos nossos autovalores:
  • Para com multiplicidade algébrica 2, .
  • Para com multiplicidade algébrica 4, .

Resposta

  1. As possíveis dimensões são:
    • pode ser 1 ou 2.
    • pode ser 1, 2, 3 ou 4.
  2. Se for diagonalizável, então:
    • .
    • .

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