Seja
, com
seu polinômio característico.
- Quais são as possibilidades para
e
?
- Se
é diagonalizável, qual a dimensão de
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você me mandou! Você tem uma transformação linear
e o polinômio característico dela é
. A gente precisa descobrir duas coisas:
- Quais são as possibilidades para as dimensões de
e . - Se
for diagonalizável, qual será a dimensão de e .
Para resolver isso, vamos usar um pouco de teoria sobre polinômios característicos, multiplicidades algébricas e geométricas, e propriedade de diagonalização. Não se preocupe, vou explicar tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele é dado por
, onde
é a matriz identidade. As raízes desse polinômio são os autovalores da transformação
.
No nosso caso, os autovalores são:
-
com multiplicidade algébrica 2 (porque ) -
com multiplicidade algébrica 4 (porque )
A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico. Já a multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço próprio associado a esse autovalor, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos para a primeira parte da pergunta:
1. Quais são as possibilidades para
e
?
Sabendo que:
- A multiplicidade geométrica de um autovalor
é no mínimo 1 e no máximo sua multiplicidade algébrica.
Então:
- Para
com multiplicidade algébrica 2, a dimensão de pode ser 1 ou 2. - Para
com multiplicidade algébrica 4, a dimensão de pode ser 1, 2, 3 ou 4.
Isso porque:
Passo 4
Agora, a segunda parte:
2. Se
é diagonalizável, qual a dimensão de
e
?
Uma transformação linear
é diagonalizável se e somente se a multiplicidade geométrica de cada autovalor é igual à sua multiplicidade algébrica. Ou seja:
-
multiplicidade algébrica de , para todo autovalor .
Aplicando isso aos nossos autovalores:
- Para
com multiplicidade algébrica 2, . - Para
com multiplicidade algébrica 4, .
Resposta
-
As possíveis dimensões são:
-
pode ser 1 ou 2. -
pode ser 1, 2, 3 ou 4.
-
-
Se
for diagonalizável, então: -
. -
.
-