Um floco de cereal tem espessura 2 L=1,2 mm. A massa específica, o calor específico e a condutividade térmica do floco são rho=700 kg / m^3, cp=2400 J /(kg cdot K), e k=0,34 W /(m cdot K), respectivamente. O produto deve ser cozido através do aumento de sua temperatura de Ti=20^circ C até Tf=220^circ C em um forno convectivo, através do qual o produto é passado sobre uma esteira. Se o forno tiver Lf o=3 m de comprimento, e o coeficiente de transferência de calor na superfície do produto e a temperatura do ar no interior do forno forem h=55 W /(m^2 cdot K) e Tinfty=300^circ C, respectivamente, determine a velocidade requerida da esteira, V. Um engenheiro sugere que se a espessura do floco for reduzida para 2 L=1,0 mm, a velocidade da esteira por ser aumentada, resultando em maior produtividade. Determine a velocidade requerida da esteira para o floco mais fino.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um floco de cereal com uma certa espessura e propriedades físicas (massa específica, calor específico e condutividade térmica). Queremos descobrir a velocidade da esteira no forno necessária para aquecer o floco de 20°C a 220°C enquanto ele passa pelo forno. Além disso, precisamos ver como essa velocidade muda se a espessura do floco for reduzida.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por convecção e condução, além de entender como a energia necessária para aquecer o floco está relacionada ao tempo que ele passa no forno (que depende da velocidade da esteira).

Passo 2

Vamos começar calculando a quantidade de calor necessária para aquecer o floco de cereal. Usamos a fórmula:
Q = m cdot cp cdot De
Onde:
  • m = rho cdot V é a quantidade de calor,
  • V = A cdot d é a massa do floco,
  • é o calor específico,
  • é a variação de temperatura.
Primeiro, precisamos encontrar a massa . Sabemos que:
Mas o volume é:
Onde:
  • é a área,
  • é a espessura do floco ( ).
Como estamos lidando com um floco de área constante passando pelo forno, podemos considerar como uma constante que se cancela nas equações seguintes. Portanto, podemos focar na relação entre massa, calor e tempo.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a quantidade de calor dotQ = h cdot A cdot (Tinfty - T) com a transferência de calor por convecção. A taxa de transferência de calor por convecção é dada por:
Q = dotQ cdot t
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor,
  • é o coeficiente de transferência de calor,
  • é a área de contato,
  • é a temperatura do ar no forno,
  • é a temperatura do floco.
Para aquecer o floco até a temperatura final, a quantidade total de calor fornecida pelo forno deve ser igual à quantidade de calor necessária para o aumento de temperatura:
Onde é o tempo que o floco passa no forno.

Passo 4

Igualando as duas expressões para m cdot cp cdot De:
rho cdot A cdot d cdot cp cdot De
Substituindo rho cdot d cdot cp cdot De e rearranjando para encontrar o tempo t = rho cdot d cdot cp cdot De:
Os termos se cancelam:
Isolando :

Passo 5

Sabemos que o tempo t = LfV também está relacionado com a velocidade da esteira LfV = rho cdot d cdot cp cdot De e o comprimento do forno V = h cdot (Tinfty - T) cdot Lfrho cdot d cdot cp cdot De:
Igualando as duas expressões para :
Isolando :

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema. Primeiro, para o floco com V = 55 cdot (300 - 220) cdot 3700 cdot 0,0012 cdot 2400 cdot (220 - 20) mm V = 55 cdot 80 cdot 3700 cdot 0,0012 cdot 2400 cdot 200 m:
V = 13200403,2 approx 32,67 , m/s
Calculando passo a passo:

Passo 7

Agora, para o floco mais fino com V = 55 cdot 80 cdot 3700 cdot 0,0010 cdot 2400 cdot 200 mm V = 13200336 approx 39,29 , m/s m:
Calculando:

Resposta

A velocidade requerida da esteira é aproximadamente para o floco com espessura de e aproximadamente para o floco mais fino de .

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