Um trocador de calor casco-tubo (TC-ct), disposto horizontalmente, é utilizado para promover a transferência de energia entre dois fluidos puros, logo, presume-se que entram no TC-ct em temperaturas diferentes. O fluido 1, incompressível, escoa pelo casco. 0 fluido 2, compressível, escoa pelo tubo. Baseado nas hipóteses apresentadas a seguir, obtenha as equações diferenciais que descrevem a distribuição da temperatura e de velocidade no processo, e de outras variáveis (se necessário). Considerações: (i)
regime permanente; (ii) escoamento turbulento fluido 2 , o qual escoa no tubo - perfil plano de velocidade; (iii) escoamento laminar do fluido 1, o qual escoa no casco (iv) escoamento em contracorrente; (v) efeito da pressão nas propriedades termodinâmicas como a entalpia é desprezível; (vi) não há mudança de fase; (vii) variação de energia cinética e potencial desprezível.

Passo 1

Então, vamos lá! Você tem um exercício sobre um trocador de calor casco-tubo (TC-ct) onde dois fluidos diferentes estão trocando calor. O fluido 1 é incompressível e está escoando pelo casco de forma laminar, enquanto o fluido 2 é compressível e está escoando pelos tubos de forma turbulenta. Nosso objetivo é obter as equações diferenciais que descrevem como a temperatura e a velocidade variam nesse processo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, dinâmica de fluidos e as condições específicas que você mencionou, como regime permanente e fluxo em contracorrente.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na conservação de massa para os dois fluidos. Como estamos em regime permanente, a massa que entra é igual à que sai. Para o fluido 1 (incompressível no casco):
ddx(rho1 u1 A1) = 0
Como du1dx = 0 é constante (incompressível) e ddx(rho2 u2 A2) = 0 também é constante, simplificamos para:
Isso nos diz que a velocidade do fluido 1 é constante ao longo do comprimento do trocador.
Para o fluido 2 (compressível nos tubos):
Aqui, pode variar, então precisamos considerar essa variação na equação.

Passo 3

Agora, vamos para a conservação de momento. Para o fluido 1, que tem escoamento laminar, usamos a equação de Navier-Stokes simplificada:
mu1 d^2 u1dy^2 = dpdx
Onde dpdx = -f rho2 u2^22D é a viscosidade do fluido 1, e é a taxa de variação de pressão ao longo do comprimento.
Para o fluido 2, com escoamento turbulento, usamos a fórmula de Darcy-Weisbach para perda de carga:
Aqui, é o fator de atrito e é o diâmetro dos tubos.

Passo 4

Vamos agora tratar da transferência de calor. A equação de energia para cada fluido em regime permanente, sem variação de energia cinética e potencial, e sem mudança de fase, fica:
Para o fluido 1:
u1 rho1 cp1 dT1dx = h A (T2 - T1)
E para o fluido 2:
u2 rho2 cp2 dT2dx = -h A (T2 - T1)
Onde é o coeficiente de transferência de calor, é a área de troca de calor, e é a capacidade térmica específica.

Passo 5

Considerando o fluxo em contracorrente, a variação das temperaturas dos dois fluidos são opostas ao longo do comprimento. Vamos integrar as equações de energia para obter as distribuições de temperatura:
Para o fluido 1:
dT1dx = h Au1 rho1 cp1 (T2 - T1)
Para o fluido 2:
dT2dx = -h Au2 rho2 cp2 (T2 - T1)

Passo 6

Agora, combinando as equações de conservação de massa e energia, podemos obter um sistema de equações diferenciais que descreve como as temperaturas e variam ao longo do comprimento do trocador. Além disso, a equação de momento para o fluido 2 nos permitirá relacionar a velocidade com a perda de carga.

Resposta

As equações diferenciais que descrevem a distribuição de temperatura e velocidade no trocador de calor casco-tubo, considerando as hipóteses fornecidas, são:
Para o fluido 1 (incompressível, fluxo laminar):
du1dx = 0
dT1dx = h Au1 rho1 cp1 (T2 - T1)
Para o fluido 2 (compressível, fluxo turbulento):
ddx(rho2 u2 A2) = 0
dpdx = -f rho2 u2^22D
dT2dx = -h Au2 rho2 cp2 (T2 - T1)
Essas equações permitem determinar como a temperatura e a velocidade dos fluidos variam ao longo do trocador de calor casco-tubo sob as condições especificadas.

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