Um fluido incompressível escoa de forma permanente num duto retangular. O perfil de velocidades é fornecido pela equação:
$$
v_{x}=v_{\max }\left(1-\frac{y{2}}{b{2}}\right)\left(1-\frac{z{2}}{\sigma{2}}\right)$$
a) Este perfil de velocidades satisfaz corretamente as condições de contorno para o escoamento de um fluido viscoso?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão de fluxo de fluido incompressível em um duto retangular. O enunciado nos dá uma equação para o perfil de velocidade e nos pergunta se esse perfil satisfaz as condições de contorno para o escoamento de um fluido viscoso. Para resolver isso, vamos precisar revisar as condições de contorno para escoamentos viscosos e verificar se a equação dada atende a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são condições de contorno em escoamento de fluidos viscosos. Em geral, para um fluxo viscoso próximo às paredes de um duto, aplicamos a condição de não deslizamento. Isso significa que a velocidade do fluido na parede deve ser igual à velocidade da parede. Se a parede está parada, como geralmente assume-se, a velocidade do fluido na parede deve ser zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação do perfil de velocidade fornecida:
vx = vmax (1 - y^2b^2) (1 - z^2sigma^2)
Aqui, é a velocidade máxima do fluido, e são dimensões características do duto nas direções e , respectivamente.

Passo 4

Para verificar se as condições de contorno são satisfeitas, precisamos avaliar nas paredes do duto. As paredes estão localizadas onde e . Vamos calcular nesses pontos.

Passo 5

Primeiro, substituímos vx = vmax (1 - b^2b^2) (1 - z^2sigma^2) = vmax (1 - 1) (1 - z^2sigma^2) = 0 na equação de :
Portanto, quando .

Passo 6

De forma similar, substituímos vx = vmax (1 - y^2b^2) (1 - sigma^2sigma^2) = vmax (1 - y^2b^2) (1 - 1) = 0 :
Então, quando .

Passo 7

Como em todas as paredes do duto ( e ), a condição de não deslizamento está satisfeita. Isso significa que o perfil de velocidade dado atende corretamente às condições de contorno para o escoamento de um fluido viscoso em um duto retangular.

Resposta

Sim, o perfil de velocidades fornecido satisfaz corretamente as condições de contorno para o escoamento de um fluido viscoso.

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