Um fluido incompressível escoa de forma permanente num duto retangular. O perfil de velocidades é fornecido pela equação:
$$
v_{x}=v_{\max }\left(1-\frac{y{2}}{b{2}}\right)\left(1-\frac{z{2}}{\sigma{2}}\right)$$
a) Este perfil de velocidades satisfaz corretamente as condições de contorno para o escoamento de um fluido viscoso?
a) Este perfil de velocidades satisfaz corretamente as condições de contorno para o escoamento de um fluido viscoso?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão de fluxo de fluido incompressível em um duto retangular. O enunciado nos dá uma equação para o perfil de velocidade e nos pergunta se esse perfil satisfaz as condições de contorno para o escoamento de um fluido viscoso. Para resolver isso, vamos precisar revisar as condições de contorno para escoamentos viscosos e verificar se a equação dada atende a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são condições de contorno em escoamento de fluidos viscosos. Em geral, para um fluxo viscoso próximo às paredes de um duto, aplicamos a condição de não deslizamento. Isso significa que a velocidade do fluido na parede deve ser igual à velocidade da parede. Se a parede está parada, como geralmente assume-se, a velocidade do fluido na parede deve ser zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação do perfil de velocidade fornecida:
Aqui,
é a velocidade máxima do fluido,
e
são dimensões características do duto nas direções
e
, respectivamente.
Passo 4
Para verificar se as condições de contorno são satisfeitas, precisamos avaliar
nas paredes do duto. As paredes estão localizadas onde
e
. Vamos calcular
nesses pontos.
Passo 5
Primeiro, substituímos
na equação de
:
Portanto,
quando
.
Passo 6
De forma similar, substituímos
:
Então,
quando
.
Passo 7
Como
em todas as paredes do duto (
e
), a condição de não deslizamento está satisfeita. Isso significa que o perfil de velocidade dado atende corretamente às condições de contorno para o escoamento de um fluido viscoso em um duto retangular.
Resposta
Sim, o perfil de velocidades fornecido satisfaz corretamente as condições de contorno para o escoamento de um fluido viscoso.