Água entra em um canal largo e plano, de altura 2 h, com uma velocidade de 5 m / s. Na saída do canal, a distribuição de velocidades é dada por
uumax =1-(yh)^2
onde y é medido a partir da linha de centro do canal. Determine a velocidade, u mext , na linha de centro na saída do canal.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos água entrando em um canal largo e plano com uma certa velocidade e queremos descobrir qual é a velocidade no centro do canal na saída. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidades de fluxo e distribuição de velocidade em fluidos. Precisaremos saber como relacionar a velocidade de entrada com a velocidade de saída usando integrais.

Passo 2

Vamos começar calculando o fluxo de água entrando no canal. O fluxo de água ( A = 2h times 1 = 2h , m^2 ) é dado pela velocidade de entrada multiplicada pela área pela qual a água está passando. Como o canal é largo e plano, consideramos a largura como 1 metro para facilitar os cálculos.
A velocidade de entrada é Qentrada = velocidade times área = 5 , m/s times 2h , m^2 = 10h , m^3/s e a altura do canal é . Então, a área é:
Portanto, o fluxo de entrada é:
á

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo de água saindo do canal. A distribuição de velocidades na saída é dada por:
uumax = 1 - ( yh )^2
Queremos encontrar u(y) = umax ( 1 - ( yh )^2 ) , a velocidade no centro do canal ( Qsaída = integral-h^h u(y) , dy = integral-h^h umax ( 1 - ( yh )^2 ) dy ). Primeiro, expressamos a velocidade em termos de :
O fluxo de saída ( í) é a integral dessa velocidade ao longo da altura do canal. Como o canal é simétrico, vamos integrar de a :
í

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Qsaída = umax integral-h^h ( 1 - y^2h^2 ) dy í
Primeiro, integramos integral-h^h 1 , dy = 2h de integral-h^h y^2h^2 , dy = 1h^2 cdot [ y^33 ]-h^h = 1h^2 ( h^33 - ( -h^33 ) ) = 2h3 a Qsaída = umax ( 2h - 2h3 ) = umax ( 4h3 ) :
Em seguida, integramos :
Então, o fluxo de saída fica:
í

Passo 5

Para que o fluxo de água seja conservado, o fluxo de entrada deve ser igual ao fluxo de saída:
Qentrada = Qsaída í
Substituindo os valores que encontramos:
10h = umax cdot 4h3
Podemos simplificar 10 = umax cdot 43 dos dois lados:

Passo 6

Agora, resolvemos para umax = 10 times 34 = 304 = 7,5 , m/s :

Resposta

A velocidade na linha de centro na saída do canal é .

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