Água entra em um canal largo e plano, de altura , com uma velocidade de . Na saída do canal, a distribuição de velocidades é dada por
onde é medido a partir da linha de centro do canal. Determine a velocidade, , na linha de centro na saída do canal.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos água entrando em um canal largo e plano com uma certa velocidade e queremos descobrir qual é a velocidade no centro do canal na saída. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidades de fluxo e distribuição de velocidade em fluidos. Precisaremos saber como relacionar a velocidade de entrada com a velocidade de saída usando integrais.

Passo 2

Vamos começar calculando o fluxo de água entrando no canal. O fluxo de água ( ) é dado pela velocidade de entrada multiplicada pela área pela qual a água está passando. Como o canal é largo e plano, consideramos a largura como 1 metro para facilitar os cálculos.
A velocidade de entrada é e a altura do canal é . Então, a área é:
Portanto, o fluxo de entrada é:
á

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo de água saindo do canal. A distribuição de velocidades na saída é dada por:
Queremos encontrar , a velocidade no centro do canal ( ). Primeiro, expressamos a velocidade em termos de :
O fluxo de saída ( í) é a integral dessa velocidade ao longo da altura do canal. Como o canal é simétrico, vamos integrar de a :
í

Passo 4

Vamos resolver a integral:
í
Primeiro, integramos de a :
Em seguida, integramos :
Então, o fluxo de saída fica:
í

Passo 5

Para que o fluxo de água seja conservado, o fluxo de entrada deve ser igual ao fluxo de saída:
í
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos simplificar dos dois lados:

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Resposta

A velocidade na linha de centro na saída do canal é .

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$$
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