Água entra em um canal largo e plano, de altura
, com uma velocidade de
. Na saída do canal, a distribuição de velocidades é dada por
onde
é medido a partir da linha de centro do canal. Determine a velocidade,
, na linha de centro na saída do canal.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos água entrando em um canal largo e plano com uma certa velocidade e queremos descobrir qual é a velocidade no centro do canal na saída. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidades de fluxo e distribuição de velocidade em fluidos. Precisaremos saber como relacionar a velocidade de entrada com a velocidade de saída usando integrais.
Passo 2
Vamos começar calculando o fluxo de água entrando no canal. O fluxo de água (
) é dado pela velocidade de entrada multiplicada pela área pela qual a água está passando. Como o canal é largo e plano, consideramos a largura como 1 metro para facilitar os cálculos.
A velocidade de entrada é
e a altura do canal é
. Então, a área
é:
Portanto, o fluxo de entrada é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo de água saindo do canal. A distribuição de velocidades na saída é dada por:
Queremos encontrar
, a velocidade no centro do canal (
). Primeiro, expressamos a velocidade em termos de
:
O fluxo de saída (
) é a integral dessa velocidade ao longo da altura do canal. Como o canal é simétrico, vamos integrar de
a
:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos
de
a
:
Em seguida, integramos
:
Então, o fluxo de saída fica:
Passo 5
Para que o fluxo de água seja conservado, o fluxo de entrada deve ser igual ao fluxo de saída:
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A velocidade na linha de centro na saída do canal é
.