Um fluido incompressível escoa de forma permanente num duto retangular. O perfil de velocidades é fornecido pela equação:
$$
v_{x}=v_{\max }\left(1-\frac{y{2}}{b{2}}\right)\left(1-\frac{z{2}}{\sigma{2}}\right)$$
c) Se a vazão de entrada é
, estime a velocidade máxima na saída em
para b e
cm .
c) Se a vazão de entrada é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado tá falando. Temos um fluido incompressível que está escoando de forma permanente (ou seja, com velocidade constante no tempo) num duto retangular. A equação do perfil de velocidades é:
Nosso objetivo aqui é, dado que a vazão de entrada é 300 ft³/min, calcular a velocidade máxima na saída em metros por segundo (m/s), quando a altura
é 10 cm. Para isso, vamos precisar entender como relacionar a vazão com a velocidade máxima e converter as unidades para o sistema métrico.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a vazão de 300 ft³/min para metros cúbicos por segundo (m³/s). Sabemos que:
- 1 pé (ft) = 0,3048 metros (m)
- 1 minuto = 60 segundos
Então, vamos converter:
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos relacionar a vazão
com a velocidade média
no duto. Para um duto retangular, a vazão é dada por:
onde
é a área da seção transversal do duto. Como a área de um retângulo é base vezes altura:
Precisamos encontrar a relação entre a velocidade média e a velocidade máxima
. Para o perfil de velocidades dado, a velocidade média em um perfil parabólico é metade da velocidade máxima. Assim:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação da vazão para encontrar
:
Isolando
:
Passo 5
Agora, precisamos dos valores de
e
. O enunciado nos dá
, que convertendo para metros fica:
Infelizmente, o valor de
não foi especificado no enunciado. Vou assumir que
também para seguir com o cálculo. Se
for diferente, você pode substituir o valor na fórmula.
Passo 6
Substituindo os valores na equação de
:
Resposta
A velocidade máxima na saída é aproximadamente 28,32 m/s.