Um fluido incompressível escoa de forma permanente num duto retangular. O perfil de velocidades é fornecido pela equação:
$$
v_{x}=v_{\max }\left(1-\frac{y{2}}{b{2}}\right)\left(1-\frac{z{2}}{\sigma{2}}\right)$$
c) Se a vazão de entrada é vx=vmax (1-y^2b^2)(1-z^2sigma^2), estime a velocidade máxima na saída em 300 ft^3 / min para b e m / s cm .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado tá falando. Temos um fluido incompressível que está escoando de forma permanente (ou seja, com velocidade constante no tempo) num duto retangular. A equação do perfil de velocidades é:
vx=vmax (1-y^2b^2)(1-z^2sigma^2)
Nosso objetivo aqui é, dado que a vazão de entrada é 300 ft³/min, calcular a velocidade máxima na saída em metros por segundo (m/s), quando a altura é 10 cm. Para isso, vamos precisar entender como relacionar a vazão com a velocidade máxima e converter as unidades para o sistema métrico.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a vazão de 300 ft³/min para metros cúbicos por segundo (m³/s). Sabemos que:
  • 1 pé (ft) = 0,3048 metros (m)
  • 1 minuto = 60 segundos
Então, vamos converter:
300 , ft^3/min times (0,3048 , m1 , ft)^3 times (1 , min60 , s)
Calculando:
300 times (0,3048)^3 / 60 approx 300 times 0,0283168 / 60 approx 300 times 0,000471947 approx 0,1416 , m^3/s

Passo 3

Agora, vamos relacionar a vazão Q = vmédia times A com a velocidade média A = b times h é no duto. Para um duto retangular, a vazão é dada por:
vmédia = vmax2 é
onde é a área da seção transversal do duto. Como a área de um retângulo é base vezes altura:
Precisamos encontrar a relação entre a velocidade média e a velocidade máxima . Para o perfil de velocidades dado, a velocidade média em um perfil parabólico é metade da velocidade máxima. Assim:
é

Passo 4

Vamos reorganizar a equação da vazão para encontrar Q = vmax2 times b times h :
vmax = 2Qb times h
Isolando :

Passo 5

Agora, precisamos dos valores de h = 0,10 , m e . O enunciado nos dá , que convertendo para metros fica:
Infelizmente, o valor de não foi especificado no enunciado. Vou assumir que também para seguir com o cálculo. Se for diferente, você pode substituir o valor na fórmula.

Passo 6

Substituindo os valores na equação de vmax = 2 times 0,1416 , m^3/s0,10 , m times 0,10 , m = 0,28320,01 = 28,32 , m/s :

Resposta

A velocidade máxima na saída é aproximadamente 28,32 m/s.

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