O perfil de velocidades para um escoamento laminar, num tubo circular, é dado por
Para escoamento turbulento:
d) A relação entre a velocidade média e a velocidade na linha central para o escoamento turbulento para os mesmos valores de n do item c .
d) A relação entre a velocidade média e a velocidade na linha central para o escoamento turbulento para os mesmos valores de n do item c .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre perfis de velocidade em escoamentos laminar e turbulento dentro de um tubo circular. A gente precisa entender como a velocidade média se relaciona com a velocidade na linha central (ou seja, no centro do tubo) quando o escoamento é turbulento. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo integral para achar a velocidade média a partir da expressão da velocidade no perfil turbulento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade no perfil turbulento é dada por:
Aqui,
é a velocidade na linha central,
é o raio do tubo,
é a posição radial, e
é um parâmetro que caracteriza o perfil de velocidade.
Passo 3
Para encontrar a velocidade média (
), a gente precisa integrar a velocidade sobre a área da seção transversal do tubo e depois dividir pela área total. A fórmula geral para a velocidade média em coordenadas cilíndricas é:
Substituindo a expressão de
na integral, temos:
Passo 4
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja
, então
e
. Substituindo, a integral fica:
Passo 5
A integral
é uma forma da função Beta, que é conhecida e pode ser expressa usando a função gama (
):
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da velocidade média:
Mas simplificando, podemos observar que:
Resposta
A relação entre a velocidade média (
) e a velocidade na linha central (
) para o escoamento turbulento é: