O perfil de velocidades para um escoamento laminar, num tubo circular, é dado por
v=vmax [1-(rR)^2]
Para escoamento turbulento:
v=vmax (R-rR)^1 / n
d) A relação entre a velocidade média e a velocidade na linha central para o escoamento turbulento para os mesmos valores de n do item c .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre perfis de velocidade em escoamentos laminar e turbulento dentro de um tubo circular. A gente precisa entender como a velocidade média se relaciona com a velocidade na linha central (ou seja, no centro do tubo) quando o escoamento é turbulento. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo integral para achar a velocidade média a partir da expressão da velocidade no perfil turbulento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade no perfil turbulento é dada por:
v(r) = vmáx ( R - rR )^1/n á
Aqui, á é a velocidade na linha central, é o raio do tubo, é a posição radial, e é um parâmetro que caracteriza o perfil de velocidade.

Passo 3

Para encontrar a velocidade média ( vmédia = 2R^2 integral0^R v(r) , r , dr é), a gente precisa integrar a velocidade sobre a área da seção transversal do tubo e depois dividir pela área total. A fórmula geral para a velocidade média em coordenadas cilíndricas é:
vmédia = 2 vmáxR^2 integral0^R ( R - rR )^1/n r , dr é
Substituindo a expressão de na integral, temos:
éá

Passo 4

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja vmédia = 2 vmáxR^2 cdot R^2 integral0^1 (1 - x)^1/n x , dx = 2 vmáx integral0^1 x (1 - x)^1/n , dx , então e . Substituindo, a integral fica:
éáá

Passo 5

A integral integral0^1 x (1 - x)^1/n , dx = Gamma(2) Gamma(1 + 1n)Gamma(3 + 1n) = 1! cdot Gamma(1 + 1n)Gamma(3 + 1n) é uma forma da função Beta, que é conhecida e pode ser expressa usando a função gama ( Gamma(3 + 1n) = (2 + 1n) Gamma(2 + 1n) = (2 + 1n) (1 + 1n) Gamma(1 + 1n) ):
integral0^1 x (1 - x)^1/n , dx = Gamma(1 + 1n)(2 + 1n) (1 + 1n) Gamma(1 + 1n) = 1(2 + 1n) (1 + 1n)
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da velocidade média:
vmédia = 2 vmáx cdot 1(2 + 1n) (1 + 1n) = 2 vmáx cdot 12 + 1n + 2 cdot 1n + 1n^2 éáá
Mas simplificando, podemos observar que:
vmédia = 2 vmáxn + 2 éá

Resposta

A relação entre a velocidade média ( vmédia = 2n + 2 , vmáx é) e a velocidade na linha central ( á) para o escoamento turbulento é:
éá

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