Um campo de escoamento permanente, incompressível e sem atrito é dado por V=(A x-b) imath-A y jmath, em que A=0,2 s^-1 e B=0,6 m cdot s^-1. Despreze o efeito da gravidade. Encontre uma expressão para o gradiente de pressão na direção x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um campo de escoamento que é permanente (não muda com o tempo), incompressível (a densidade permanece constante) e sem atrito. A velocidade do fluido é dada por V = (A x - B) imath - A y jmath, onde A = 0,2 s⁻¹ e B = 0,6 m·s⁻¹. A tarefa é encontrar uma expressão para o gradiente de pressão na direção x.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Euler para escoamentos incompressíveis e sem atrito, que relaciona a taxa de variação da velocidade com o gradiente de pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Euler para escoamentos incompressíveis e sem atrito:
partial Vpartial t + (V cdot nabla) V = -1rho nabla P + g
Como o escoamento é permanente, a derivada temporal partial Vpartial t é zero. Além disso, como desprezamos a gravidade ( g = 0), a equação simplifica para:
(V cdot nabla) V = -1rho nabla P
Nosso objetivo é encontrar nabla P na direção x, então precisamos calcular o termo (V cdot nabla) V.

Passo 3

Vamos calcular o termo advecção (V cdot nabla) V. A velocidade é dada por:
V = (A x - B) imath - A y jmath
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais necessárias:
partial Vxpartial x = partial (A x - B)partial x = A
partial Vxpartial y = 0
partial Vypartial x = 0
partial Vypartial y = partial (-A y)partial y = -A

Passo 4

Agora, calculamos o produto (V cdot nabla) V:
(V cdot nabla) Vx = Vx partial Vxpartial x + Vy partial Vxpartial y = (A x - B)(A) + (-A y)(0) = A(A x - B)
(V cdot nabla) Vy = Vx partial Vypartial x + Vy partial Vypartial y = (A x - B)(0) + (-A y)(-A) = A^2 y
Então, temos:
(V cdot nabla) V = [A(A x - B)] imath + [A^2 y] jmath

Passo 5

Voltando à equação de Euler simplificada:
(V cdot nabla) V = -1rho nabla P
Isso significa que:
[A(A x - B)] imath + [A^2 y] jmath = -1rho ( partial Ppartial x imath + partial Ppartial y jmath )
Para encontrar partial Ppartial x, vamos igualar as componentes na direção x:
A(A x - B) = -1rho partial Ppartial x

Passo 6

Isolando partial Ppartial x:
partial Ppartial x = -rho A (A x - B)
Isso é a expressão para o gradiente de pressão na direção x.

Resposta

A expressão para o gradiente de pressão na direção x é:
partial Ppartial x = -rho A (A x - B)

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