Um campo de escoamento permanente, incompressível e sem atrito é dado por
, em que
. Despreze o efeito da gravidade. Encontre uma expressão para o gradiente de pressão na direção x
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um campo de escoamento que é permanente (não muda com o tempo), incompressível (a densidade permanece constante) e sem atrito. A velocidade do fluido é dada por
, onde
s⁻¹ e
m·s⁻¹. A tarefa é encontrar uma expressão para o gradiente de pressão na direção x.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Euler para escoamentos incompressíveis e sem atrito, que relaciona a taxa de variação da velocidade com o gradiente de pressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de Euler para escoamentos incompressíveis e sem atrito:
Como o escoamento é permanente, a derivada temporal
é zero. Além disso, como desprezamos a gravidade (
), a equação simplifica para:
Nosso objetivo é encontrar
na direção x, então precisamos calcular o termo
.
Passo 3
Vamos calcular o termo advecção
. A velocidade é dada por:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, calculamos o produto
:
Então, temos:
Passo 5
Voltando à equação de Euler simplificada:
Isso significa que:
Para encontrar
, vamos igualar as componentes na direção x:
Passo 6
Isolando
:
Isso é a expressão para o gradiente de pressão na direção x.
Resposta
A expressão para o gradiente de pressão na direção x é: