Um fluido com a massa específica de 1.050 kg / m 3 escoa em regime permanente através de uma caixa retangular. Dados: A 1=0,05 m^2, A 2=0,01 m^2, A 3=0,06 m^2, v 1=4 imath m / s e v2 =-8 jmath m / s. Determinar a velocidade v3. Resp. v3=4,67 m/s

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de mecânica dos fluidos onde um fluido com massa específica de 1.050 , kg/m^3 está escoando de forma constante (regime permanente) por uma caixa retangular. As áreas das seções dessa caixa são A1 = 0,05 , m^2, A2 = 0,01 , m^2 e A3 = 0,06 , m^2. As velocidades nas áreas 1 e 2 são v1 = 4 , imath , m/s e v2 = -8 , jmath , m/s, respectivamente. A gente precisa encontrar a velocidade v3 na terceira área.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Lei da Conservação da Massa para fluidos em regime permanente, que basicamente diz que a quantidade de massa que entra numa área deve ser igual à quantidade de massa que sai. A fórmula geral dessa lei é:
sum dotmentrada = sum dotmsaída í
Para fluidos incompressíveis, como água, a massa específica rho é constante, então a equação pode ser simplificada para:
rho A1 v1 + rho A2 v2 = rho A3 v3
Como rho é comum nos dois lados da equação, a gente pode simplificar ainda mais dividindo ambos os lados por rho:
A1 v1 + A2 v2 = A3 v3

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que a gente tem na equação. Lembrando que as velocidades v1 e v2 são vetoriais, mas para a conservação da massa, a gente considera apenas os valores escalares (módulos das velocidades) e suas direções (positiva ou negativa) conforme o sentido do fluxo.
0,05 , m^2 times 4 , m/s + 0,01 , m^2 times (-8) , m/s = 0,06 , m^2 times v3
Fazendo as contas:
0,2 - 0,08 = 0,06 times v3
0,12 = 0,06 times v3

Passo 4

Agora, é só resolver para v3:
v3 = 0,120,06 = 2 , m/s
Parece que temos um pequeno erro na resposta final esperada, que é 4,67 , m/s. Vamos revisar os cálculos considerando que talvez a direção das velocidades influencie o resultado final.

Passo 5

Considerando que as áreas 1 e 2 estão entrando e a área 3 está saindo (ou vice-versa), a conservação da massa pode ser ajustada para:
A1 v1 + A2 v2 - A3 v3 = 0
Substituindo os valores:
0,05 times 4 + 0,01 times (-8) - 0,06 times v3 = 0
0,2 - 0,08 - 0,06 v3 = 0
0,12 = 0,06 v3
v3 = 0,120,06 = 2 , m/s
Parece que há uma inconsistência com a resposta esperada. É possível que as direções das velocidades ou as áreas estejam interpretadas de forma diferente no enunciado original. De qualquer forma, seguindo a conservação da massa com os dados fornecidos, a velocidade v3 seria 2 , m/s.

Resposta

A velocidade v3 é de 2 , m/s.

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