Um fluido incompressível ( rho = constante) escoa, em estado estacionário, através de um duto de seção transversal circular que aumenta o diâmetro ao longo do seu comprimento. Na posição 1, o diâmetro tem o valor igual a 2,5 cm e a velocidade é de 12 m / s. Na posição 2, o diâmetro é igual a 5 cm.
a) Qual o valor da velocidade na posição 2?
b) Qual o valor da variação de energia cinética em J / Kg do fluido entre as posições 1 e 2?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de mecânica dos fluidos onde um fluido incompressível está fluindo de forma constante por um duto que aumenta de diâmetro. Na posição 1, o diâmetro é de 2,5 cm e a velocidade é de 12 m/s. Na posição 2, o diâmetro passa a ser 5 cm. Vamos precisar usar a Equação da Continuidade para encontrar a velocidade na posição 2 e depois calcular a variação da energia cinética do fluido entre essas duas posições.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): encontrar a velocidade na posição 2. Como o fluido é incompressível e o fluxo é constante, a Equação da Continuidade nos diz que a área da seção transversal do duto vezes a velocidade do fluido é constante ao longo do duto. Ou seja:
A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Aqui, $ A $ é a área da seção transversal e $ v $ é a velocidade do fluido nas posições 1 e 2.

Passo 3

Vamos calcular as áreas das seções transversais nas duas posições. Como os dutos são circulares, a área $ A $ é dada por:
A
Para a posição 1:
A = pi ( d2 )^2
Para a posição 2:
A1 = pi ( 2,5, cm2 )^2 = pi (1,25, cm)^2 approx 4,91, cm^2
Agora, aplicando a Equação da Continuidade:
A2 = pi ( 5, cm2 )^2 = pi (2,5, cm)^2 approx 19,63, cm^2
Resolvendo para $ v_2 $:
4,91, cm^2 cdot 12, m/s = 19,63, cm^2 cdot v2

Passo 4

Agora, vamos para a parte b): calcular a variação da energia cinética por quilograma do fluido entre as posições 1 e 2. A energia cinética por unidade de massa ($ \Delta EC $) é dada por:
De

Passo 5

Substituindo os valores das velocidades:
De
A energia cinética diminuiu em 67,5 J/kg, indicando que o fluido perdeu energia cinética ao passar para a posição com diâmetro maior.

Resposta

a) A velocidade na posição 2 é de 3 m/s.
b) A variação de energia cinética do fluido entre as posições 1 e 2 é de -67,5 J/kg.

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