Considere um fluido caraterizado pelo grande potencial termodinâmico
, sendo
uma função bem-comportada. Obtenha a energia livre de Helmholtz
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um fluido descrito pelo grande potencial termodinâmico
, onde
é uma função bem-comportada. O objetivo é encontrar a energia livre de Helmholtz, que a gente chama de
.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das relações entre os potenciais termodinâmicos. Especificamente, vamos usar a relação entre o grande potencial
e a energia livre de Helmholtz
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar algumas definições importantes. A energia livre de Helmholtz
é dada por:
onde
é a energia interna,
é a temperatura e
é a entropia.
Já o grande potencial termodinâmico
está relacionado com a energia livre de Helmholtz pela seguinte relação:
onde
é o potencial químico e
é o número de partículas.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos isolar
na equação acima:
Agora, precisamos encontrar uma expressão para
, que é o número de partículas. Para isso, usamos a relação termodinâmica que liga
ao grande potencial
:
Isso significa que
é igual à derivada negativa de
em relação ao potencial químico
, mantendo a temperatura
e o volume
constantes.
Passo 4
Vamos calcular essa derivada usando a expressão dada para
:
Derivando
em relação a
:
Portanto,
Passo 5
Agora que temos
em termos de
, podemos substituir de volta na equação para
:
Substituindo
:
Isso simplifica para:
Resposta
A energia livre de Helmholtz é dada por: