Considere um fluido caraterizado pelo grande potencial termodinâmico Phi= V f0(T) e^mu / kB T, sendo f0(T) uma função bem-comportada. Obtenha a energia livre de Helmholtz

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um fluido descrito pelo grande potencial termodinâmico , onde é uma função bem-comportada. O objetivo é encontrar a energia livre de Helmholtz, que a gente chama de .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das relações entre os potenciais termodinâmicos. Especificamente, vamos usar a relação entre o grande potencial e a energia livre de Helmholtz .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar algumas definições importantes. A energia livre de Helmholtz F = U - TS é dada por:
Phi = F - mu N
onde é a energia interna, é a temperatura e é a entropia.
Já o grande potencial termodinâmico está relacionado com a energia livre de Helmholtz pela seguinte relação:
onde é o potencial químico e é o número de partículas.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar F = Phi + mu N , então vamos isolar N = -( partial Phipartial mu )T,V na equação acima:
Agora, precisamos encontrar uma expressão para , que é o número de partículas. Para isso, usamos a relação termodinâmica que liga ao grande potencial :
Isso significa que é igual à derivada negativa de em relação ao potencial químico , mantendo a temperatura e o volume constantes.

Passo 4

Vamos calcular essa derivada usando a expressão dada para Phi = V f0(T) e^mu / (kB T) :
partial Phipartial mu = V f0(T) cdot 1kB T cdot e^mu / (kB T)
Derivando N = -partial Phipartial mu = -V f0(T) cdot 1kB T cdot e^mu / (kB T) em relação a :
Portanto,

Passo 5

Agora que temos F = Phi + mu N em termos de F = Phi + mu ( -PhikB T ) = Phi (1 - mukB T) , podemos substituir de volta na equação para F = V f0(T) e^mu / (kB T) (1 - mukB T) :
Substituindo :
Isso simplifica para:

Resposta

A energia livre de Helmholtz é dada por:
F = V f0(T) e^mu / (kB T) (1 - mukB T)

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