Um foguete é lançado a um ângulo do topo de uma torre com altura
. Devido ao projeto dos motores, suas coordenadas de posição estão na forma
e
, sendo que
,
e
são constantes. Além disso, a aceleração do foguete
após o lançamento é
. Suponha que a origem das coordenadas esteja na base da torre. a) Ache as constantes
,
, incluindo suas unidades no SI. b) No instante imediatamente após o lançamento do foguete, quais são seu vetor de aceleração e sua velocidade? c) Quais são os componentes
e
da velocidade do foguete 10,0 s após seu lançamento e com que velocidade ele se desloca? d) Qual o vetor posição do foguete 10,0 s após seu lançamento?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um foguete lançado do topo de uma torre com altura
. As posições
e
do foguete são dadas por:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar. Também sabemos que a aceleração do foguete 1 segundo após o lançamento é
. Nosso objetivo é encontrar os valores dessas constantes, considerando que a origem das coordenadas está na base da torre.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, para relacionar posição, velocidade e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções de posição
e
. Essas funções nos dizem onde o foguete está em cada instante de tempo
.
A constante
representa a posição inicial em
, ou seja, onde o foguete está na horizontal no momento do lançamento.
A constante
está associada ao termo
na função
. Isso indica que a aceleração horizontal é constante.
Já em
, temos
como a posição inicial em
, que deve ser igual à altura da torre
.
Os termos com
e
em
indicam acelerações verticais e mudanças na velocidade vertical.
Passo 3
Vamos encontrar a constante
primeiro. No instante
, o foguete está no topo da torre. Portanto, substituindo
na equação de
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as acelerações. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, que por sua vez é a derivada da posição.
Primeiro, vamos derivar
e
para encontrar a velocidade
:
Agora, vamos derivar novamente para encontrar a aceleração
:
Passo 5
Nos é dado que, no instante
, a aceleração é
. Vamos usar isso para encontrar
e
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a constante
. Sabemos que no instante
, a posição
. Se considerarmos que no lançamento o foguete está em
, então
. Mas se houver alguma condição adicional, precisaríamos usar. Como não há outras informações, assumimos
.
Então:
Resposta
As constantes são:
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.
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