Um foguete é lançado a um ângulo do topo de uma torre com altura h0=60,0 m. Devido ao projeto dos motores, suas coordenadas de posição estão na forma x(t)=A+B t^2 e y(t)=C+t^2+D t^3, sendo que A, B, C e D são constantes. Além disso, a aceleração do foguete 1,0 s após o lançamento é a=(5,0 imath+4,4 jmath) m / s^2. Suponha que a origem das coordenadas esteja na base da torre. a) Ache as constantes A, B, C, e D, incluindo suas unidades no SI. b) No instante imediatamente após o lançamento do foguete, quais são seu vetor de aceleração e sua velocidade? c) Quais são os componentes x e y da velocidade do foguete 10,0 s após seu lançamento e com que velocidade ele se desloca? d) Qual o vetor posição do foguete 10,0 s após seu lançamento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um foguete lançado do topo de uma torre com altura x(t) = A + B t^2 . As posições y(t) = C + t^2 + D t^3 e do foguete são dadas por:
onde e são constantes que precisamos encontrar. Também sabemos que a aceleração do foguete 1 segundo após o lançamento é . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas constantes, considerando que a origem das coordenadas está na base da torre.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, para relacionar posição, velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções de posição e . Essas funções nos dizem onde o foguete está em cada instante de tempo .
A constante representa a posição inicial em , ou seja, onde o foguete está na horizontal no momento do lançamento.
A constante está associada ao termo na função . Isso indica que a aceleração horizontal é constante.
Já em , temos como a posição inicial em , que deve ser igual à altura da torre .
Os termos com e em indicam acelerações verticais e mudanças na velocidade vertical.

Passo 3

Vamos encontrar a constante y(0) = C + 0^2 + D cdot 0^3 = C = h0 = 60,0 , m primeiro. No instante , o foguete está no topo da torre. Portanto, substituindo na equação de :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as acelerações. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, que por sua vez é a derivada da posição.
Primeiro, vamos derivar vx(t) = dxdt = 2B t e vy(t) = dydt = 2t + 3D t^2 para encontrar a velocidade ax(t) = dvxdt = 2B :
ay(t) = dvydt = 2 + 6D t
Agora, vamos derivar novamente para encontrar a aceleração :

Passo 5

Nos é dado que, no instante 2B = 5,0 , m/s^2 Rightarrow B = 5,02 = 2,5 , m/s^2 , a aceleração é 2 + 6D cdot 1,0 = 4,4 , m/s^2 Rightarrow 6D = 4,4 - 2 = 2,4 Rightarrow D = 2,46 = 0,4 , s^-1 . Vamos usar isso para encontrar e .
Para :
Para :

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a constante A = 0 , m . Sabemos que no instante , a posição . Se considerarmos que no lançamento o foguete está em , então . Mas se houver alguma condição adicional, precisaríamos usar. Como não há outras informações, assumimos .
Então:

Resposta

As constantes são:
A = 0 , m
B = 2,5 , m/s^2
C = 60,0 , m
D = 0,4 , s^-1

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