Um foguete é lançado a um ângulo do topo de uma torre com altura . Devido ao projeto dos motores, suas coordenadas de posição estão na forma e , sendo que , e são constantes. Além disso, a aceleração do foguete após o lançamento é . Suponha que a origem das coordenadas esteja na base da torre. a) Ache as constantes , , incluindo suas unidades no SI. b) No instante imediatamente após o lançamento do foguete, quais são seu vetor de aceleração e sua velocidade? c) Quais são os componentes e da velocidade do foguete 10,0 s após seu lançamento e com que velocidade ele se desloca? d) Qual o vetor posição do foguete 10,0 s após seu lançamento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um foguete lançado do topo de uma torre com altura . As posições e do foguete são dadas por:
onde e são constantes que precisamos encontrar. Também sabemos que a aceleração do foguete 1 segundo após o lançamento é . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas constantes, considerando que a origem das coordenadas está na base da torre.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, para relacionar posição, velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções de posição e . Essas funções nos dizem onde o foguete está em cada instante de tempo .
A constante representa a posição inicial em , ou seja, onde o foguete está na horizontal no momento do lançamento.
A constante está associada ao termo na função . Isso indica que a aceleração horizontal é constante.
Já em , temos como a posição inicial em , que deve ser igual à altura da torre .
Os termos com e em indicam acelerações verticais e mudanças na velocidade vertical.

Passo 3

Vamos encontrar a constante primeiro. No instante , o foguete está no topo da torre. Portanto, substituindo na equação de :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as acelerações. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, que por sua vez é a derivada da posição.
Primeiro, vamos derivar e para encontrar a velocidade :
Agora, vamos derivar novamente para encontrar a aceleração :

Passo 5

Nos é dado que, no instante , a aceleração é . Vamos usar isso para encontrar e .
Para :
Para :

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a constante . Sabemos que no instante , a posição . Se considerarmos que no lançamento o foguete está em , então . Mas se houver alguma condição adicional, precisaríamos usar. Como não há outras informações, assumimos .
Então:

Resposta

As constantes são:

Exercícios relacionados

Considere a reação química: .
b. Quais são os fatores que alteram a velocidade de reação, ?
Uma viagem de carro de Maringá a Cascavel dura 2 h e 20 min quando você dirige o carro com uma velocidade média de . Em uma sexta-feira na parte da tarde, contudo, o trânsito está muito pesado e você percorre a mesma distância com uma velocidade média de . Calcule o tempo que você leva neste percurso. Resp: .
A constante de velocidade de decomposição de primeira ordem de um composto A na reação é , a . Qual tempo de meia-vida de A?
Calcule as pressões em que o caminho livre médio de uma molécula de seja, 100 micrometro, 1,00 milimetro, e 1,00 metro na temperatura de