Foi feito um estudo sobre a altura dos alunos de uma faculdade, observando-se que ela se distribuía normalmente com média de
e desvio padrão de 5 cm. Qual a porcentagem dos alunos com altura:
entre
e
?
entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a distribuição das alturas dos alunos de uma faculdade, que segue uma distribuição normal. A média das alturas é de
e o desvio padrão é de
(ou
). Precisamos descobrir qual a porcentagem dos alunos que têm altura entre
e
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de distribuição normal, média, desvio padrão e a tabela da distribuição normal padrão (Z).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma distribuição normal. Uma distribuição normal é uma curva simétrica em forma de sino, onde a maioria dos valores se concentra em torno da média. O desvio padrão nos diz o quanto os valores se dispersam em relação à média.
Passo 3
Vamos transformar as alturas dadas em escores Z, que nos ajudam a comparar qualquer valor de uma distribuição normal com a distribuição normal padrão, que tem média
e desvio padrão
. A fórmula para calcular o escore Z é:
onde:
-
é o valor que queremos padronizar, -
é a média, -
é o desvio padrão.
Passo 4
Vamos calcular o escore Z para cada uma das alturas dadas.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de um aluno ter uma altura entre
e
na distribuição normal padrão. Sabemos que aproximadamente
dos dados em uma distribuição normal estão dentro de três desvios padrões da média. Isso é conhecido como a Regra Empírica ou Regra 68-95-99,7.
Passo 6
Segundo a Regra Empírica:
- Cerca de
dos valores estão dentro de da média, - Cerca de
dentro de , - E cerca de
dentro de .
Como nossos escores Z vão de
a
, estamos considerando três desvios padrão para cada lado da média.
Passo 7
Portanto, a porcentagem dos alunos com altura entre
e
é aproximadamente
.
Resposta
Aproximadamente
dos alunos têm altura entre
e
.