Foi feito um estudo sobre a altura dos alunos de uma faculdade, observando-se que ela se distribuía normalmente com média de 1,72 m e desvio padrão de 5 cm. Qual a porcentagem dos alunos com altura:
entre 1,57 m e 1,87 m?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a distribuição das alturas dos alunos de uma faculdade, que segue uma distribuição normal. A média das alturas é de 1,72 m e o desvio padrão é de 5 cm (ou 0,05 m). Precisamos descobrir qual a porcentagem dos alunos que têm altura entre 1,57 m e 1,87 m. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de distribuição normal, média, desvio padrão e a tabela da distribuição normal padrão (Z).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma distribuição normal. Uma distribuição normal é uma curva simétrica em forma de sino, onde a maioria dos valores se concentra em torno da média. O desvio padrão nos diz o quanto os valores se dispersam em relação à média.

Passo 3

Vamos transformar as alturas dadas em escores Z, que nos ajudam a comparar qualquer valor de uma distribuição normal com a distribuição normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para calcular o escore Z é:
Z = X - musigma
onde:
  • X é o valor que queremos padronizar,
  • mu é a média,
  • sigma é o desvio padrão.

Passo 4

Vamos calcular o escore Z para cada uma das alturas dadas.
Para 1,57 m:
Z1 = 1,57 - 1,720,05 = -0,150,05 = -3
Para 1,87 m:
Z2 = 1,87 - 1,720,05 = 0,150,05 = 3

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de um aluno ter uma altura entre Z = -3 e Z = 3 na distribuição normal padrão. Sabemos que aproximadamente 99,7% dos dados em uma distribuição normal estão dentro de três desvios padrões da média. Isso é conhecido como a Regra Empírica ou Regra 68-95-99,7.

Passo 6

Segundo a Regra Empírica:
  • Cerca de 68% dos valores estão dentro de 1sigma da média,
  • Cerca de 95% dentro de 2sigma,
  • E cerca de 99,7% dentro de 3sigma.
Como nossos escores Z vão de -3 a 3, estamos considerando três desvios padrão para cada lado da média.

Passo 7

Portanto, a porcentagem dos alunos com altura entre 1,57 m e 1,87 m é aproximadamente 99,7%.

Resposta

Aproximadamente 99,7% dos alunos têm altura entre 1,57 m e 1,87 m.

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