Nos itens abaixo, determine (a) a média, (b) a variância e © o desvio padrão da distribuição binomial para a variável aleatória dada, e (d) interprete os resultados.
Setenta e nove por cento dos trabalhadores americanos sabem como o presidente de sua empresa se parece. Você seleciona aleatoriamente seis trabalhadores e pergunta se eles sabem como o seu presidente se parece. A variável aleatória representa o número de trabalhadores que sabem como o seu presidente se parece.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre distribuição binomial. A gente tem que encontrar a média, a variância, o desvio padrão dessa distribuição para a variável que representa o número de trabalhadores que sabem como o presidente da empresa se parece. Sabemos que 79% (ou 0,79) dos trabalhadores americanos sabem disso, e estamos selecionando 6 trabalhadores aleatoriamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos uma sequência de experimentos independentes, cada um com dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. No nosso caso, o “sucesso” é um trabalhador saber como o presidente se parece, e o “fracasso” é o contrário. Os parâmetros da binomial são:
  • $ n $: número de tentativas (no caso, 6 trabalhadores)
  • $ p $: probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,79)

Passo 3

A média (ou valor esperado) da distribuição binomial é calculada pela fórmula:
mu = n times p
Vamos calcular:
mu = 6 times 0,79 = 4,74

Passo 4

A variância mede a dispersão dos dados em relação à média e, na binomial, é dada por:
sigma^2 = n times p times (1 - p)
Calculando:
sigma^2 = 6 times 0,79 times (1 - 0,79) = 6 times 0,79 times 0,21
sigma^2 = 6 times 0,1659 = 0,9954

Passo 5

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e nos dá uma ideia de quanto os valores tendem a variar em média em relação à média da distribuição. A fórmula é:
sigma = raizsigma^2
Calculando:
sigma = raiz0,9954 approx 0,9977

Resposta

(a) A média é 4,74.
(b) A variância é aproximadamente 0,9954.
© O desvio padrão é aproximadamente 0,9977.
(d) Isso significa que, em média, esperamos que cerca de 4,74 dos 6 trabalhadores selecionados saibam como o presidente da empresa se parece. A variância de aproximadamente 0,9954 indica que há uma pequena variação em torno dessa média, e o desvio padrão de aproximadamente 0,9977 mostra que os números de trabalhadores que sabem dessa informação tendem a variar menos de 1 pessoa em relação à média esperada.

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