Três urnas contêm fichas com a seguinte distribuição: Urna 1: três fichas vermelhas; duas fichas amarelas e cinco fichas brancas. Urna 2: duas fichas vermelhas; quatro fichas amarelas e três fichas brancas. Urna 3: cinco fichas vermelhas; três fichas amarelas e seis fichas brancas. Joga-se um dado, se sair o número 1 ou 2 retira-se duas fichas sem reposição da Urna 1, se sair o número 3 retira-se duas fichas sem reposição da Urna 2 e se sair os números 4,5 ou 6 retira-se duas fichas sem reposição da Urna 3. Com base nas informações anteriores, responda:
Qual a probabilidade de se retirar duas fichas da mesma cor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um probleminha de probabilidade envolvendo três urnas com fichas de cores diferentes. A ideia é descobrir qual é a chance de, quando a gente joga um dado e, dependendo do número que sai, retirar duas fichas da mesma cor da urna correspondente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e combinações para calcular as chances em cada urna.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a distribuição das fichas em cada urna:
  • Urna 1:
    • Vermelhas: 3
    • Amarelas: 2
    • Brancas: 5
    • Total de fichas: 3 + 2 + 5 = 10
  • Urna 2:
    • Vermelhas: 2
    • Amarelas: 4
    • Brancas: 3
    • Total de fichas: 2 + 4 + 3 = 9
  • Urna 3:
    • Vermelhas: 5
    • Amarelas: 3
    • Brancas: 6
    • Total de fichas: 5 + 3 + 6 = 14

Passo 3

Agora, vamos ver as probabilidades de escolher cada urna com base no resultado do dado:
  • O dado tem 6 faces.
  • Urna 1: Saiu 1 ou 2 → 2 resultados possíveis → Probabilidade = 2/6 = 1/3
  • Urna 2: Saiu 3 → 1 resultado possível → Probabilidade = 1/6
  • Urna 3: Saiu 4, 5 ou 6 → 3 resultados possíveis → Probabilidade = 3/6 = 1/2

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de retirar duas fichas da mesma cor em cada urna. Para isso, usamos a fórmula de combinações:
P(mesma cor) = C(dois vermelhos) + C(dois amarelos) + C(dois brancos)C(total de fichas, 2)
Onde $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ é a combinação de n elementos tomados k a k.
Calculando para cada urna:
  • Urna 1:
    C(n, k) = n!k!(n-k)!
    C(3,2) = 3, C(2,2) = 1, C(5,2) = 10
  • Urna 2:
    P(mesma cor | Urna 1) = 3 + 1 + 10C(10,2) = 1445 approx 0,3111
    C(2,2) = 1, C(4,2) = 6, C(3,2) = 3
  • Urna 3:
    P(mesma cor | Urna 2) = 1 + 6 + 3C(9,2) = 1036 approx 0,2778
    C(5,2) = 10, C(3,2) = 3, C(6,2) = 15

Passo 5

Agora, vamos combinar as probabilidades de cada urna ser escolhida com as probabilidades de retirar duas fichas da mesma cor em cada uma delas:
P(mesma cor) = P(Urna 1) times P(mesma cor | Urna 1) + P(Urna 2) times P(mesma cor | Urna 2) + P(Urna 3) times P(mesma cor | Urna 3)
Substituindo os valores:
P(mesma cor) = (13 times 1445) + (16 times 1036) + (12 times 2891)
Calculando cada parte:
13 times 1445 = 14135 approx 0,1037
16 times 1036 = 10216 approx 0,0463
12 times 2891 = 28182 approx 0,1538
Somando tudo:
0,1037 + 0,0463 + 0,1538 approx 0,3038

Resposta

A probabilidade de retirar duas fichas da mesma cor é aproximadamente 30,38%.

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