Três urnas contêm fichas com a seguinte distribuição: Urna 1: três fichas vermelhas; duas fichas amarelas e cinco fichas brancas. Urna 2: duas fichas vermelhas; quatro fichas amarelas e três fichas brancas. Urna 3: cinco fichas vermelhas; três fichas amarelas e seis fichas brancas. Joga-se um dado, se sair o número 1 ou 2 retira-se duas fichas sem reposição da Urna 1, se sair o número 3 retira-se duas fichas sem reposição da Urna 2 e se sair os números 4,5 ou 6 retira-se duas fichas sem reposição da Urna 3. Com base nas informações anteriores, responda:
Qual a probabilidade de se retirar duas fichas da mesma cor?
Qual a probabilidade de se retirar duas fichas da mesma cor?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um probleminha de probabilidade envolvendo três urnas com fichas de cores diferentes. A ideia é descobrir qual é a chance de, quando a gente joga um dado e, dependendo do número que sai, retirar duas fichas da mesma cor da urna correspondente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e combinações para calcular as chances em cada urna.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a distribuição das fichas em cada urna:
-
Urna 1:
- Vermelhas: 3
- Amarelas: 2
- Brancas: 5
- Total de fichas: 3 + 2 + 5 = 10
-
Urna 2:
- Vermelhas: 2
- Amarelas: 4
- Brancas: 3
- Total de fichas: 2 + 4 + 3 = 9
-
Urna 3:
- Vermelhas: 5
- Amarelas: 3
- Brancas: 6
- Total de fichas: 5 + 3 + 6 = 14
Passo 3
Agora, vamos ver as probabilidades de escolher cada urna com base no resultado do dado:
- O dado tem 6 faces.
- Urna 1: Saiu 1 ou 2 → 2 resultados possíveis → Probabilidade = 2/6 = 1/3
- Urna 2: Saiu 3 → 1 resultado possível → Probabilidade = 1/6
- Urna 3: Saiu 4, 5 ou 6 → 3 resultados possíveis → Probabilidade = 3/6 = 1/2
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de retirar duas fichas da mesma cor em cada urna. Para isso, usamos a fórmula de combinações:
Onde $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ é a combinação de n elementos tomados k a k.
Calculando para cada urna:
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Urna 1:
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Urna 2:
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Urna 3:
Passo 5
Agora, vamos combinar as probabilidades de cada urna ser escolhida com as probabilidades de retirar duas fichas da mesma cor em cada uma delas:
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Resposta
A probabilidade de retirar duas fichas da mesma cor é aproximadamente 30,38%.