Sabe-se que a proporção de animais contaminados com uma determinada doença não é superior a 10 %. Qual deve o tamanho da amostra para que a semi amplitude do intervalo com 92 % de confiança para a fração populacional não seja superior a 2 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que até 10% dos animais estão contaminados com uma doença. Queremos saber quantos animais devemos amostrar para que, com 92% de confiança, a margem de erro (a “semi amplitude” do intervalo) não seja maior que 2%. Vamos usar conceitos de estatística sobre proporções e intervalos de confiança para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a margem de erro para a proporção é calculada usando a fórmula:
E = z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • é a margem de erro (neste caso, 2%, ou 0,02)
  • é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança (92%)
  • é a proporção estimada (10%, ou 0,10)
  • é o tamanho da amostra que queremos encontrar

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar o valor de para um nível de confiança de 92%. O nível de confiança de 92% significa que a área nas duas caudas da distribuição é de 8% (100% - 92%). Então, cada cauda tem 4%. Buscamos o valor de que deixa 96% da área à esquerda (porque 92% + 4% = 96%).
Consultando uma tabela de valores ou usando uma calculadora, encontramos que .

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a fórmula para resolver n = ( z^2 times p(1 - p)E^2 ) :
n = (1,75)^2 times 0,10 times 0,90(0,02)^2
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calculando 1,75^2 = 3,0625 :
0,10 times 0,90 = 0,09
  1. Calculando 0,02^2 = 0,0004 :
n = 3,0625 times 0,090,0004 = 0,2756250,0004 = 689,0625
  1. Calculando :
  1. Agora, substituindo na fórmula:

Passo 6

Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de uma amostra de pelo menos 690 animais para garantir que a margem de erro não ultrapasse 2% com 92% de confiança.

Resposta

O tamanho mínimo da amostra necessário é 690 animais.

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