Sabe-se que a proporção de animais contaminados com uma determinada doença não é superior a
. Qual deve o tamanho da amostra para que a semi amplitude do intervalo com
de confiança para a fração populacional não seja superior a
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício diz que até 10% dos animais estão contaminados com uma doença. Queremos saber quantos animais devemos amostrar para que, com 92% de confiança, a margem de erro (a “semi amplitude” do intervalo) não seja maior que 2%. Vamos usar conceitos de estatística sobre proporções e intervalos de confiança para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a margem de erro para a proporção é calculada usando a fórmula:
Onde:
-
é a margem de erro (neste caso, 2%, ou 0,02) -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança (92%) -
é a proporção estimada (10%, ou 0,10) -
é o tamanho da amostra que queremos encontrar
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar o valor de
para um nível de confiança de 92%. O nível de confiança de 92% significa que a área nas duas caudas da distribuição é de 8% (100% - 92%). Então, cada cauda tem 4%. Buscamos o valor de
que deixa 96% da área à esquerda (porque 92% + 4% = 96%).
Consultando uma tabela de valores
ou usando uma calculadora, encontramos que
.
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a fórmula para resolver
:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
- Calculando
:
- Calculando
:
- Calculando
:
- Agora, substituindo na fórmula:
Passo 6
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de uma amostra de pelo menos 690 animais para garantir que a margem de erro não ultrapasse 2% com 92% de confiança.
Resposta
O tamanho mínimo da amostra necessário é 690 animais.