O tempo de manutenção, em horas, para uma determinada máquina é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade:
a. Qual é a probabilidade do tempo de manutenção ser menor do que 2 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos fala sobre o tempo de manutenção de uma máquina, que é uma variável aleatória. A função densidade de probabilidade é dada por:
O que queremos descobrir é a probabilidade de o tempo de manutenção ser menor do que 2 horas, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o conceito de função de distribuição acumulada (FDA), que nos dá a probabilidade de a variável aleatória ser menor ou igual a um certo valor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para encontrar , precisamos integrar a função densidade de probabilidade de até . Isso porque a probabilidade acumulada até um ponto é a área sob a curva da função densidade até esse ponto.
Matematicamente, isso fica assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral . Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
A fórmula de integração por partes é:
Escolhemos e de forma que a integral fique mais fácil de resolver. Vamos definir:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, calculamos a segunda integral:
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora que temos a antiderivada, vamos avaliar a integral definida de 0 a 2:
Isso significa que substituímos e na antiderivada e subtraímos os resultados:

Passo 6

Simplificando as expressões:
Sabemos que , então:
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A probabilidade do tempo de manutenção ser menor do que 2 horas é:

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