O tempo de manutenção, em horas, para uma determinada máquina é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade:
a. Qual é a probabilidade do tempo de manutenção ser menor do que 2 horas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos fala sobre o tempo de manutenção de uma máquina, que é uma variável aleatória. A função densidade de probabilidade é dada por:
O que queremos descobrir é a probabilidade de o tempo de manutenção ser menor do que 2 horas, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de função de distribuição acumulada (FDA), que nos dá a probabilidade de a variável aleatória ser menor ou igual a um certo valor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para encontrar
, precisamos integrar a função densidade de probabilidade de
até
. Isso porque a probabilidade acumulada até um ponto é a área sob a curva da função densidade até esse ponto.
Matematicamente, isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral
. Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
A fórmula de integração por partes é:
Escolhemos
e
de forma que a integral fique mais fácil de resolver. Vamos definir:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, calculamos a segunda integral:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora que temos a antiderivada, vamos avaliar a integral definida de 0 a 2:
Isso significa que substituímos
e
na antiderivada e subtraímos os resultados:
Passo 6
Simplificando as expressões:
Sabemos que
, então:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A probabilidade do tempo de manutenção ser menor do que 2 horas é:
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a) Teste a hipótese
contra
, com
. Encontre o valor
.
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usando o
e marque a região de interesse. Calcule a função de distribuição de
e esboce seu gráfico.