O tempo de manutenção, em horas, para uma determinada máquina é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade:
f(x)= x e^-x & se x>0 0 & se x <= 0
a. Qual é a probabilidade do tempo de manutenção ser menor do que 2 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos fala sobre o tempo de manutenção de uma máquina, que é uma variável aleatória. A função densidade de probabilidade é dada por:
f(x)= x e^-x & se x>0 0 & se x <= 0
O que queremos descobrir é a probabilidade de o tempo de manutenção ser menor do que 2 horas, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o conceito de função de distribuição acumulada (FDA), que nos dá a probabilidade de a variável aleatória ser menor ou igual a um certo valor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para encontrar P(X < 2) = integral0^2 f(x) , dx = integral0^2 x e^-x , dx , precisamos integrar a função densidade de probabilidade de até . Isso porque a probabilidade acumulada até um ponto é a área sob a curva da função densidade até esse ponto.
Matematicamente, isso fica assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
A fórmula de integração por partes é:
Escolhemos e de forma que a integral fique mais fácil de resolver. Vamos definir:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x e^-x , dx = -x e^-x + integral e^-x , dx
Agora, calculamos a segunda integral:
integral e^-x , dx = -e^-x + C
Então, substituindo de volta:
integral x e^-x , dx = -x e^-x - e^-x + C = -e^-x(x + 1) + C

Passo 5

Agora que temos a antiderivada, vamos avaliar a integral definida de 0 a 2:
integral0^2 x e^-x , dx = [ -e^-x(x + 1) ]0^2
Isso significa que substituímos = ( -e^-2(2 + 1) ) - ( -e^0(0 + 1) ) e na antiderivada e subtraímos os resultados:

Passo 6

Simplificando as expressões:
Sabemos que = -3 e^-2 - (-1) = -3 e^-2 + 1 , então:
P(X < 2) = 1 - 3 e^-2
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A probabilidade do tempo de manutenção ser menor do que 2 horas é:
P(X < 2) = 1 - 3 e^-2 approx 0,594

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