Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens retangulares exige que o comprimento de cada caixa seja 2 m e o volume 3 m^3. Para gastar a menor quantidade de material possível na fabricação de caixas, quais devem ser suas dimensōes.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre um fabricante que precisa criar caixas retangulares com algumas especificações. As caixas têm um comprimento fixo de 2 , m e um volume de 3 , m^3. O que queremos descobrir aqui é quais devem ser as dimensões da caixa para que seja gastado o menor material possível na fabricação. O conteúdo que precisamos entender para resolver isso é sobre volume de sólidos e minimização de áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de um paralelepípedo, que é o que a caixa retangular é. O volume V é dado pela fórmula:
V = comprimento times largura times a
Aqui sabemos que o comprimento é 2 , m e que o volume total da caixa é 3 , m^3. Então podemos substituir na fórmula:
3 = 2 times largura times a
Agora, isolamos a largura e a altura. Dividimos ambos os lados por 2:
largura times a
Daí, podemos chamar a largura de x e a altura de y:
x times y = 32 (1)

Passo 3

Agora que temos a relação entre a largura e a altura, precisamos encontrar uma forma de minimizar a área da caixa. A área A das laterais da caixa é dada por:
A = 2(largura times a
Substituindo o comprimento ( 2) e as variáveis que chamamos de x e y, a fórmula fica:
A = 2(x cdot y) + 2(2 cdot y) + 2(2 cdot x) = 2(32) + 4y + 4x
A = 3 + 4y + 4x (2)
Agora, usamos a equação (1) para substituir y em termos de x:
y = 32x
Substituindo isso em (2):
A = 3 + 4(32x) + 4x
A = 3 + 6x + 4x

Passo 4

Para minimizar a área, podemos derivar a função A em relação a x e igualar a zero. Vamos encontrar a derivada:
dAdx = -6x^2 + 4
Agora, para achar o ponto em que essa derivada é igual a zero, temos:
-6x^2 + 4 = 0
Isolando 6x^2:
6x^2 = 4
x^2 = 64 = 32
x = raiz32 approx 1.22 , m
A partir de x, precisamos calcular y usando a equação (1):
y = 32x = 32 times 1.22 approx 1.23 , m

Resposta

Portanto, as dimensões da caixa que minimizam o uso de material são: comprimento de 2 , m, largura de aproximadamente 1.22 , m e altura de aproximadamente 1.23 , m.

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