Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens retangulares exige que o comprimento de cada caixa seja 2 m e o volume . Para gastar a menor quantidade de material possível na fabricação de caixas, quais devem ser suas dimensōes.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre um fabricante que precisa criar caixas retangulares com algumas especificações. As caixas têm um comprimento fixo de e um volume de . O que queremos descobrir aqui é quais devem ser as dimensões da caixa para que seja gastado o menor material possível na fabricação. O conteúdo que precisamos entender para resolver isso é sobre volume de sólidos e minimização de áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de um paralelepípedo, que é o que a caixa retangular é. O volume é dado pela fórmula:
Aqui sabemos que o comprimento é e que o volume total da caixa é . Então podemos substituir na fórmula:
Agora, isolamos a largura e a altura. Dividimos ambos os lados por :
Daí, podemos chamar a largura de e a altura de :

Passo 3

Agora que temos a relação entre a largura e a altura, precisamos encontrar uma forma de minimizar a área da caixa. A área das laterais da caixa é dada por:
Substituindo o comprimento ( ) e as variáveis que chamamos de e , a fórmula fica:
Agora, usamos a equação (1) para substituir em termos de :
Substituindo isso em (2):

Passo 4

Para minimizar a área, podemos derivar a função em relação a e igualar a zero. Vamos encontrar a derivada:
Agora, para achar o ponto em que essa derivada é igual a zero, temos:
Isolando :
A partir de , precisamos calcular usando a equação (1):

Resposta

Portanto, as dimensões da caixa que minimizam o uso de material são: comprimento de , largura de aproximadamente e altura de aproximadamente .

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