Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens retangulares exige que o comprimento de cada caixa seja 2 m e o volume
. Para gastar a menor quantidade de material possível na fabricação de caixas, quais devem ser suas dimensōes.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre um fabricante que precisa criar caixas retangulares com algumas especificações. As caixas têm um comprimento fixo de
e um volume de
. O que queremos descobrir aqui é quais devem ser as dimensões da caixa para que seja gastado o menor material possível na fabricação. O conteúdo que precisamos entender para resolver isso é sobre volume de sólidos e minimização de áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de um paralelepípedo, que é o que a caixa retangular é. O volume
é dado pela fórmula:
Aqui sabemos que o comprimento é
e que o volume total da caixa é
. Então podemos substituir na fórmula:
Agora, isolamos a largura e a altura. Dividimos ambos os lados por
:
Daí, podemos chamar a largura de
e a altura de
:
Passo 3
Agora que temos a relação entre a largura e a altura, precisamos encontrar uma forma de minimizar a área da caixa. A área
das laterais da caixa é dada por:
Substituindo o comprimento (
) e as variáveis que chamamos de
e
, a fórmula fica:
Agora, usamos a equação (1) para substituir
em termos de
:
Substituindo isso em (2):
Passo 4
Para minimizar a área, podemos derivar a função
em relação a
e igualar a zero. Vamos encontrar a derivada:
Agora, para achar o ponto em que essa derivada é igual a zero, temos:
Isolando
:
A partir de
, precisamos calcular
usando a equação (1):
Resposta
Portanto, as dimensões da caixa que minimizam o uso de material são: comprimento de
, largura de aproximadamente
e altura de aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões
e
, com um lado comum
. Se cada pasto deve medir
de área, determinar as dimensões
e
, de forma que o comprimento da cerca seja mínimo.
Um canhâo, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação
. Seja
o alcance do canhão, dado por
, onde
e
são constantes. Para que ângulo o alcance é máximo?
Considerar uma constante positiva.
Considerar
Calcule o número de Coulombs de carga positiva que estão presentes em
de água neutra. Lembre que um átomo de hidrogènio contém um próton; um átomo de oxigénio contém oito prótons; a massa especifica da água é
; a massa molar da água é de 18 gramas por mol, o número de Avogrado (número de moléculas em um mol de substância) é dado por
Uma folha de papel contém
de matéria impressa, com margem superior de 3.5 cm , margem inferior de 2 cm , margem lateral direita de 2 cm e margem lateral esquerda de
. Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de papel.