Uma fonte de luz (referencial S^prime ) se move com velocidade v=v widehatx em relação a um referencial S. A fonte emite um feixe de luz na direção y em relação ao referencial S^prime. Mostre que um observador em S verá esse feixe formar um ângulo
theta=sin ^-1(raiz1-v^2c^2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. Temos uma fonte de luz que está se movendo numa direção paralela ao eixo theta = sin^-1(raiz1 - v^2c^2) com velocidade em relação a um referencial . No referencial da fonte, chamado , ela emite um feixe de luz na direção . Nosso objetivo é mostrar que um observador no referencial vai ver esse feixe formando um ângulo dado por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos da Teoria da Relatividade Restrita, especificamente a transformação de velocidades entre referenciais em movimento relativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na relatividade, quando temos dois referenciais em movimento relativo, as velocidades medidas em cada referencial não se somam de forma simples como na física clássica. Precisamos usar a fórmula de adição de velocidades da relatividade.
No referencial , a luz está se movendo apenas na direção , ou seja, a velocidade da luz é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar como essa velocidade ux = u'x + v1 + u'x vc^2 se parece no referencial uy = u'ygamma (1 + u'x vc^2) . Para isso, usamos as transformações de velocidades relativísticas. As componentes de velocidade na direção do movimento relativo (no nosso caso, gamma = 1raiz1 - v^2c^2 ) e perpendicular a ela (no nosso caso, ) são dadas por:
Aqui, é o fator de Lorentz, definido por:

Passo 4

No nosso caso, no referencial ux = 0 + v1 + 0 = v , a velocidade na direção uy = cgamma (1 + 0) = cgamma é zero ( ), já que a luz só está se movendo na direção . Substituindo esses valores nas fórmulas:

Passo 5

Agora, temos a velocidade da luz no referencial tan(theta) = uxuy = vcgamma = v gamma / c como . Queremos encontrar o ângulo que essa velocidade forma com o eixo . Esse ângulo pode ser encontrado usando a função tangente:

Passo 6

Vamos substituir tan(theta) = vc cdot 1raiz1 - v^2c^2 = vc raiz1 - v^2c^2 pela sua expressão:

Passo 7

Para encontrar sin(theta) = ux|u| = vraizv^2 + (cgamma)^2 , precisamos inverter a tangente. Mas vamos simplificar a expressão primeiro. Podemos escrever:
sin(theta) = vraizv^2 + c^2 (1 - v^2c^2) = vraizv^2 + c^2 - v^2 = vc
Substituindo :
No entanto, há uma inconsistência aqui. Vamos reavaliar a abordagem para chegar à resposta correta.

Passo 8

Vamos reconsiderar a relação correta para o ângulo de aberrção. A expressão correta é:
sin(theta) = uxc = vc
Mas de acordo com a resposta que queremos mostrar, temos:
theta = sin^-1(raiz1 - v^2c^2)
Isso sugere que houve um equívoco na relação inicial. Na verdade, o ângulo na relatividade pode ser encontrado relacionando as componentes de velocidade e considerando a dilatação do tempo e o contração do espaço.

Passo 9

Voltando à expressão original, usando as componentes de velocidade que encontramos:
ux = v
uy = cgamma = c raiz1 - v^2c^2
Agora, o ângulo tan(theta) = uxuy = vc raiz1 - v^2c^2 é dado por:
sin(theta) = uxc = vc
Mas queremos em termos de , então vamos usar a relação trigonométrica:
No entanto, isso nos leva novamente à expressão , que não coincide com a resposta esperada. Parece que estamos faltando considerar a transformação correta do ângulo na relatividade.

Passo 10

Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos usar a fórmula de aberration de ângulo na relatividade:
sin(theta) = sin(theta')gamma (1 + vc cos(theta'))
No referencial sin(theta) = sin(90^circ)gamma (1 + 0) = 1gamma = raiz1 - v^2c^2 , o feixe está emitido na direção theta = sin^-1(raiz1 - v^2c^2) , então e . Substituindo esses valores:
Portanto, o ângulo é:

Resposta

Aproveitando as transformações da Relatividade Restrita, mostramos que o ângulo formado pelo feixe de luz observado no referencial theta = sin^-1(raiz1 - v^2c^2) é:

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