Uma fonte de luz (referencial ) se move com velocidade em relação a um referencial . A fonte emite um feixe de luz na direção em relação ao referencial . Mostre que um observador em verá esse feixe formar um ângulo

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. Temos uma fonte de luz que está se movendo numa direção paralela ao eixo com velocidade em relação a um referencial . No referencial da fonte, chamado , ela emite um feixe de luz na direção . Nosso objetivo é mostrar que um observador no referencial vai ver esse feixe formando um ângulo dado por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos da Teoria da Relatividade Restrita, especificamente a transformação de velocidades entre referenciais em movimento relativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na relatividade, quando temos dois referenciais em movimento relativo, as velocidades medidas em cada referencial não se somam de forma simples como na física clássica. Precisamos usar a fórmula de adição de velocidades da relatividade.
No referencial , a luz está se movendo apenas na direção , ou seja, a velocidade da luz é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar como essa velocidade se parece no referencial . Para isso, usamos as transformações de velocidades relativísticas. As componentes de velocidade na direção do movimento relativo (no nosso caso, ) e perpendicular a ela (no nosso caso, ) são dadas por:
Aqui, é o fator de Lorentz, definido por:

Passo 4

No nosso caso, no referencial , a velocidade na direção é zero ( ), já que a luz só está se movendo na direção . Substituindo esses valores nas fórmulas:

Passo 5

Agora, temos a velocidade da luz no referencial como . Queremos encontrar o ângulo que essa velocidade forma com o eixo . Esse ângulo pode ser encontrado usando a função tangente:

Passo 6

Vamos substituir pela sua expressão:

Passo 7

Para encontrar , precisamos inverter a tangente. Mas vamos simplificar a expressão primeiro. Podemos escrever:
Substituindo :
No entanto, há uma inconsistência aqui. Vamos reavaliar a abordagem para chegar à resposta correta.

Passo 8

Vamos reconsiderar a relação correta para o ângulo de aberrção. A expressão correta é:
Mas de acordo com a resposta que queremos mostrar, temos:
Isso sugere que houve um equívoco na relação inicial. Na verdade, o ângulo na relatividade pode ser encontrado relacionando as componentes de velocidade e considerando a dilatação do tempo e o contração do espaço.

Passo 9

Voltando à expressão original, usando as componentes de velocidade que encontramos:
Agora, o ângulo é dado por:
Mas queremos em termos de , então vamos usar a relação trigonométrica:
No entanto, isso nos leva novamente à expressão , que não coincide com a resposta esperada. Parece que estamos faltando considerar a transformação correta do ângulo na relatividade.

Passo 10

Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos usar a fórmula de aberration de ângulo na relatividade:
No referencial , o feixe está emitido na direção , então e . Substituindo esses valores:
Portanto, o ângulo é:

Resposta

Aproveitando as transformações da Relatividade Restrita, mostramos que o ângulo formado pelo feixe de luz observado no referencial é:

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Sobre o efeito fotoelétrico, marque V ou F:
( ) Cada fóton possui energia proporcional à sua frequência na forma .
( ) Existe uma frequência limiar , para qualquer frequência abaixo de não há efeito fotoelétrico.
( ) A energia cinética dos fotoelétrons independe da intensidade da luz.
( ) A intensidade da corrente é diretamente proporcional à intensidade da luz incidente.
( ) Luz com comprimento de onda pequeno, porém acima do comprimento de onda de corte, emite fotoelétron com alta energia cinética.