Se x^2+x y+y^3=1, encontre o valor de y^prime no ponto onde x=1.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o valor da derivada de y, chamada de y', em relação a x quando x=1, a partir da equação x^2+x y+y^3=1. Para resolver isso, a matéria em questão é chamada de “derivadas implícitas”. Nesse caso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a derivação implícita para encontrar y'.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. A derivada do lado esquerdo vai ficar assim:
  1. A derivada de x^2 é 2x.
  2. Para o termo xy, precisamos usar a regra do produto, que é: se temos u e v, a derivada é u'v + uv'. Então, a derivada de xy vai ser x cdot y' + y cdot 1 = x y' + y.
  3. A derivada de y^3 vai ser 3y^2 y' pela regra da cadeia, já que estamos derivando em relação a x.
Assim, a derivada da equação se torna:
2x + (xy' + y) + 3y^2y' = 0

Passo 3

Agora, vamos juntar todos os termos que têm y' e deixar os outros de um lado só da equação. Vamos simplificar a equação:
2x + y + xy' + 3y^2y' = 0
Agrupando os termos com y':
xy' + 3y^2y' = - (2x + y)
Fatorando y':
y'(x + 3y^2) = - (2x + y)
Agora, podemos isolar y':
y' = - (2x + y)x + 3y^2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de y' especificamente quando x=1. Primeiro, precisamos descobrir o valor de y quando x=1. Vamos voltar para a equação original e substituir x=1:
1^2 + 1 cdot y + y^3 = 1
Simplificando isso, temos:
1 + y + y^3 = 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
y + y^3 = 0
Isso nos dá duas soluções: y(y^2+1)=0. Portanto, temos y=0 ou y^2+1=0. Como y^2+1=0 não tem solução real, ficamos com y=0.

Passo 5

Agora que temos os valores x=1 e y=0, vamos substituir esses valores na fórmula que encontramos para y':
y' = - (2 cdot 1 + 0)1 + 3 cdot 0^2
Isso se simplifica para:
y' = -21 = -2

Resposta

Portanto, o valor de y' no ponto onde x=1 é -2.

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