Se , encontre o valor de no ponto onde .

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o valor da derivada de , chamada de , em relação a quando , a partir da equação . Para resolver isso, a matéria em questão é chamada de “derivadas implícitas”. Nesse caso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a derivação implícita para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . A derivada do lado esquerdo vai ficar assim:
  1. A derivada de é .
  2. Para o termo , precisamos usar a regra do produto, que é: se temos e , a derivada é . Então, a derivada de vai ser .
  3. A derivada de vai ser pela regra da cadeia, já que estamos derivando em relação a .
Assim, a derivada da equação se torna:

Passo 3

Agora, vamos juntar todos os termos que têm e deixar os outros de um lado só da equação. Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com :
Fatorando :
Agora, podemos isolar :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de especificamente quando . Primeiro, precisamos descobrir o valor de quando . Vamos voltar para a equação original e substituir :
Simplificando isso, temos:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso nos dá duas soluções: . Portanto, temos ou . Como não tem solução real, ficamos com .

Passo 5

Agora que temos os valores e , vamos substituir esses valores na fórmula que encontramos para :
Isso se simplifica para:

Resposta

Portanto, o valor de no ponto onde é .

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