Se
, encontre o valor de
no ponto onde
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o valor da derivada de
, chamada de
, em relação a
quando
, a partir da equação
. Para resolver isso, a matéria em questão é chamada de “derivadas implícitas”. Nesse caso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a derivação implícita para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. A derivada do lado esquerdo vai ficar assim:
- A derivada de
é . - Para o termo
, precisamos usar a regra do produto, que é: se temos e , a derivada é . Então, a derivada de vai ser . - A derivada de
vai ser pela regra da cadeia, já que estamos derivando em relação a .
Assim, a derivada da equação se torna:
Passo 3
Agora, vamos juntar todos os termos que têm
e deixar os outros de um lado só da equação. Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com
:
Fatorando
:
Agora, podemos isolar
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de
especificamente quando
. Primeiro, precisamos descobrir o valor de
quando
. Vamos voltar para a equação original e substituir
:
Simplificando isso, temos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso nos dá duas soluções:
. Portanto, temos
ou
. Como
não tem solução real, ficamos com
.
Passo 5
Agora que temos os valores
e
, vamos substituir esses valores na fórmula que encontramos para
:
Isso se simplifica para:
Resposta
Portanto, o valor de
no ponto onde
é
.