Uma lanterna hipotética emite um feixe de fótons bem colimado e é capaz de converter uma fração significativa de sua massa em luz. Se a lanterna começar em repouso com massa m0 e, em seguida, for ligada e puder mover-se livremente ao longo de uma linha reta, encontre sua massa de repouso m(v), com v sendo sua velocidade em relação ao seu referencial de repouso original.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma lanterna que pode converter uma parte significativa da sua massa em luz. Inicialmente, ela está parada com uma massa . Quando ligamos a lanterna, ela começa a se mover em uma linha reta com velocidade . Nosso objetivo é descobrir qual é a massa de repouso da lanterna quando ela está se movendo a essa velocidade.
Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos da Teoria da Relatividade Especial, que nos ajuda a entender como massa e energia se relacionam quando objetos estão em movimento próximo à velocidade da luz.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que na relatividade especial, a energia total de um objeto em movimento é dada por:
E = gamma m0 c^2
Aqui, gamma = 1raiz1 - v^2c^2 é o fator de Lorentz, que depende da velocidade do objeto:
E é a velocidade da luz.

Passo 3

Também sabemos que a energia total pode ser expressa como a soma da energia de repouso e da energia cinética:
E = m(v) c^2
Assim, podemos igualar as duas expressões para m(v) c^2 = gamma m0 c^2 :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por m(v) = gamma m0 :
m(v) = m0raiz1 - v^2c^2
Substituindo o valor de :

Passo 5

Portanto, a massa de repouso da lanterna quando ela está se movendo a uma velocidade m(v) = m0raiz1 - v^2c^2 é:

Resposta

A massa de repouso da lanterna quando está se movendo a velocidade m(v) = m0raiz1 - v^2c^2 é:

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