Se
for o campo vetorial definido por
. Mostre que
é conservativo e encontre uma função potencial para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e precisa mostrar que ele é conservativo. Além disso, a gente quer encontrar uma função potencial para esse campo. Isso está ligado ao estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de Cálculo Vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar
tal que
, onde
é o gradiente de
. Para verificar se
é conservativo, a gente pode calcular o rotor (ou curl) de
. Se o rotor for zero, então
é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotor de
, que é dado por:
Onde
. No nosso caso:
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotor:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o rotor de
é
.
Passo 5
Como o rotor de
é zero, isso confirma que
é um campo vetorial conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
.
Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
Agora, usamos
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Por último, usamos
:
Comparando, temos
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A função potencial para o campo vetorial
é:
Onde
é uma constante.
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