Se f for o campo vetorial definido por f(x, y, z) = < z^2 + 1, 2 y z, 2 x z + y^2 >. Mostre que f é conservativo e encontre uma função potencial para f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e precisa mostrar que ele é conservativo. Além disso, a gente quer encontrar uma função potencial para esse campo. Isso está ligado ao estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de Cálculo Vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que , onde é o gradiente de . Para verificar se é conservativo, a gente pode calcular o rotor (ou curl) de . Se o rotor for zero, então é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotor de , que é dado por:
Onde . No nosso caso:

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotor:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então, o rotor de é .

Passo 5

Como o rotor de é zero, isso confirma que é um campo vetorial conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial tal que .
Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e .
Agora, usamos :
Onde é uma função que depende apenas de .
Por último, usamos :
Comparando, temos , então é uma constante, que podemos chamar de .
Portanto, a função potencial é:

Resposta

A função potencial para o campo vetorial é:
Onde é uma constante.

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