Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a série . Queremos descobrir se essa série converge ou diverge usando o Critério da Razão. Esse critério é uma ferramenta que ajuda a gente a analisar a convergência de séries observando o limite da razão entre termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . Agora, para aplicar o Critério da Razão, a gente precisa calcular o limite da razão quando tende ao infinito. Ou seja:
Passo 3
Vamos substituir an+1an = (2(n+1))!2^(n+1)^2 times 2^n^2(2n)! e (2(n+1))! = (2n + 2)! = (2n + 2)(2n + 1)(2n)! na expressão:
Vamos analisar o comportamento desse limite quando limn to infty 2n^24^n = 0 tende ao infinito. O numerador é um polinômio de segundo grau (), e o denominador cresce exponencialmente (). Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios. Então:
Passo 6
Como o limite é menor que 1, pelo Critério da Razão, a série converge.