MOSTRE QUE CADA LIMITE NAO EXISTE.
b) lim substackx 0 y 0 sen yx^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte b) do exercício que pede para mostrar que o limite não existe. O limite em questão é:
Vamos usar conceitos de cálculo de limites para ver se esse limite realmente existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão do limite. A função que estamos analisando é . Queremos ver o que acontece com essa função quando e se aproximam de zero.

Passo 3

Para verificar se o limite existe, uma estratégia comum é abordar o ponto por diferentes caminhos e ver se os resultados são os mesmos. Se encontrarmos caminhos que dão resultados diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 4

Vamos tentar primeiro o caminho onde sen 0x^2 = 0x^2 = 0 . Substituindo por 0 na função, temos:
Então, quando , o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos tentar outro caminho. Vamos escolher sen (x^2)x^2 . Substituindo x^2x^2 = 1 por na função, temos:
Sabemos que, para valores pequenos de , . Portanto, a expressão fica aproximadamente:
Assim, nesse caminho, o limite é 1.

Passo 6

Comparando os dois resultados que obtivemos:
  • No caminho , o limite é 0.
  • No caminho , o limite é 1.
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os resultados variam conforme o caminho de aproximação.

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