Se
for um campo vetorial definido por
. Mostre que
é conservativo e encontre uma função potencial para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial definido por
. Nosso objetivo é mostrar que esse campo é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial associada a ele.
Passo 2
Primeiro, o que significa ser um campo conservativo? Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar
tal que
, onde
é o gradiente de
. Basicamente, isso quer dizer que o campo vetorial pode ser derivado de uma única função, chamada função potencial.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, precisamos checar uma condição importante: em um domínio simplesmente conexo (sem “buracos”), um campo vetorial
é conservativo se e somente se a derivada cruzada parcial de
em relação a
for igual à derivada cruzada parcial de
em relação a
. Isto é,
Passo 4
Vamos aplicar isso ao nosso campo
. Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Como
é igual a
, a condição para
ser conservativo está satisfeita. Portanto,
é um campo vetorial conservativo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda equação:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Podemos chamar essa constante de
.
Passo 8
Portanto, a função potencial
é:
Resposta
O campo vetorial
é conservativo, e uma função potencial para
é
, onde
é uma constante.
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