Se f for um campo vetorial definido por f(x, y) = < 1/y, -x/y^2 >. Mostre que f é conservativo e encontre uma função potencial para f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial definido por . Nosso objetivo é mostrar que esse campo é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial associada a ele.

Passo 2

Primeiro, o que significa ser um campo conservativo? Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que , onde é o gradiente de . Basicamente, isso quer dizer que o campo vetorial pode ser derivado de uma única função, chamada função potencial.

Passo 3

Para verificar se é conservativo, precisamos checar uma condição importante: em um domínio simplesmente conexo (sem “buracos”), um campo vetorial é conservativo se e somente se a derivada cruzada parcial de em relação a for igual à derivada cruzada parcial de em relação a . Isto é,

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso campo . Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Como é igual a , a condição para ser conservativo está satisfeita. Portanto, é um campo vetorial conservativo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos à segunda equação:
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Podemos chamar essa constante de .

Passo 8

Portanto, a função potencial é:

Resposta

O campo vetorial é conservativo, e uma função potencial para é , onde é uma constante.

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