Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty n!n^n(2 n)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o Critério da Razão para verificar se a série
sumn=1^infty n! cdot n^n(2n)!
converge ou diverge. O Critério da Razão é uma ferramenta que ajuda a determinar a convergência de séries envolvendo termos que crescem rapidamente, como fatoriais e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério da Razão. Ele diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se ou é infinito, a série diverge.
  • Se , o critério não nos dá informação.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral an = n! cdot n^n(2n)! da nossa série:
an+1 = (n+1)! cdot (n+1)^n+1(2(n+1))! = (n+1)! cdot (n+1)^n+1(2n + 2)!
Agora, precisamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos montar a razão an+1an = (n+1)! cdot (n+1)^n+1 cdot (2n)!n! cdot n^n cdot (2n + 2)! :
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, observamos que an+1an = (n+1) cdot n! cdot (n+1)^n+1 cdot (2n)!n! cdot n^n cdot (2n + 2)! = (n+1) cdot (n+1)^n+1n^n cdot (2n)!(2n + 2)! . Substituindo:

Passo 6

Simplificamos (2n + 2)! = (2n + 2)(2n + 1)(2n)! . Sabemos que:
(2n)!(2n + 2)! = 1(2n + 2)(2n + 1) = 1(2n + 1)(2n + 2)
Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão da razão:
an+1an = (n+1) cdot (n+1)^n+1n^n cdot 1(2n + 1)(2n + 2)
Vamos simplificar (n+1)^n+1n^n = (n+1) cdot (n+1n)^n = (n+1) cdot (1 + 1n)^n :

Passo 8

Substituindo novamente na razão:
an+1an = (n+1) cdot (n+1) cdot (1 + 1n)^n cdot 1(2n + 1)(2n + 2)
Simplificando:
an+1an = (n+1)^2 cdot (1 + 1n)^n(2n + 1)(2n + 2)

Passo 9

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando L = limn to infty (n+1)^2 cdot (1 + 1n)^n(2n + 1)(2n + 2) tende ao infinito:
(n+1)^2(2n + 1)(2n + 2) approx n^24n^2 = 14
Sabemos que L = 14 cdot e = e4 tende a quando vai para infinito. Além disso, podemos simplificar os polinômios de maior grau no numerador e denominador:
Então, o limite fica:

Passo 10

Sabemos que L approx 2,7184 approx 0,6795 , então:
Como , pelo Critério da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Critério da Razão.

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