Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o Critério da Razão para verificar se a série
converge ou diverge. O Critério da Razão é uma ferramenta que ajuda a determinar a convergência de séries envolvendo termos que crescem rapidamente, como fatoriais e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério da Razão. Ele diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge.
Se ou é infinito, a série diverge.
Se , o critério não nos dá informação.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral an = n! cdot n^n(2n)! da nossa série:
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando L = limn to infty (n+1)^2 cdot (1 + 1n)^n(2n + 1)(2n + 2) tende ao infinito:
(n+1)^2(2n + 1)(2n + 2) approx n^24n^2 = 14
Sabemos que L = 14 cdot e = e4 tende a quando vai para infinito. Além disso, podemos simplificar os polinômios de maior grau no numerador e denominador:
Então, o limite fica:
Passo 10
Sabemos que L approx 2,7184 approx 0,6795 , então: