Use o teorema de Green para calcular integralC F cdot d r com F(x, y)=(raizx+y^3) i+(x^2+raizy) j, C consiste no arco de curva y=sen(x) de (0,0) a (pi, 0) e no segmento de reta (0,0) a (pi, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A função vetorial é . A curva é formada por duas partes: o arco da curva de a e o segmento de reta que liga a . Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA com uma integral dupla sobre a região que está dentro de . A fórmula é:
Aqui, . Então, precisamos identificar e na nossa função vetorial.

Passo 3

Identificando os componentes da função vetorial P(x, y) = raizx + y^3 :
Q(x, y) = x^2 + raizy
partial Qpartial x = partialpartial x(x^2 + raizy) = 2x
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
partial Ppartial y = partialpartial y(raizx + y^3) = 3y^2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
ointC F cdot dr = integral duplaD (2x - 3y^2) dA
Agora, precisamos definir a região que está limitada pela curva . A curva é composta pelo arco de a e pelo segmento de reta de a .

Passo 5

Vamos visualizar a região integral duplaD (2x - 3y^2) dA = integral0^pi integral0^sin(x) (2x - 3y^2) dy , dx . Ela está entre a curva e o eixo de a . Para configurar a integral dupla, podemos integrar primeiro em de até , e depois em de a .
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^sin(x) (2x - 3y^2) dy = [2x y - y^3 ]0^sin(x) = 2x sin(x) - sin^3(x) :
integral0^pi (2x sin(x) - sin^3(x)) dx
Agora, a integral dupla simplifica para:

Passo 7

Vamos resolver a integral em relação a integral0^pi 2x sin(x) dx - integral0^pi sin^3(x) dx . Primeiro, separamos em duas integrais:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 8

Para a primeira integral u = 2x Rightarrow du = 2 dx , usamos integração por partes. Seja:
dv = sin(x) dx Rightarrow v = -cos(x)
integral 2x sin(x) dx = -2x cos(x) + integral 2 cos(x) dx = -2x cos(x) + 2 sin(x) + C
Então:
-2pi cos(pi) + 2 sin(pi) - (-2 cdot 0 cdot cos(0) + 2 sin(0)) = -2pi (-1) + 0 - 0 = 2pi
Avaliado de a :

Passo 9

Agora, para a segunda integral integral sin^3(x) dx = integral sin(x) (1 - cos^2(x)) dx , usamos a identidade - integral (1 - u^2) du = - (u - u^33) + C = -cos(x) + cos^3(x)3 + C e substituição:
(-cos(pi) + cos^3(pi)3) - (-cos(0) + cos^3(0)3) = (1 + (-1)^33) - (-1 + 1^33) = (1 - 13) - (-1 + 13) = 23 - (-23) = 43
Seja , então . A integral se torna:
Avaliado de a :

Passo 10

Agora, juntando os resultados das duas integrais:
ointC F cdot dr = 2pi - 43 = 6pi - 43

Resposta

A integral é igual a .

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