Use o teorema de Green para calcular
consiste no arco de curva
de
a
e no segmento de reta
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A função vetorial é
. A curva
é formada por duas partes: o arco da curva
de
a
e o segmento de reta que liga
a
. Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
que está dentro de
. A fórmula é:
Aqui,
. Então, precisamos identificar
e
na nossa função vetorial.
Passo 3
Identificando os componentes da função vetorial
:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Agora, precisamos definir a região
que está limitada pela curva
. A curva
é composta pelo arco
de
a
e pelo segmento de reta de
a
.
Passo 5
Vamos visualizar a região
. Ela está entre a curva
e o eixo
de
a
. Para configurar a integral dupla, podemos integrar primeiro em
de
até
, e depois em
de
a
.
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Agora, a integral dupla simplifica para:
Passo 7
Vamos resolver a integral em relação a
. Primeiro, separamos em duas integrais:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 8
Para a primeira integral
, usamos integração por partes. Seja:
Então:
Avaliado de
a
:
Passo 9
Agora, para a segunda integral
, usamos a identidade
e substituição:
Seja
, então
. A integral se torna:
Avaliado de
a
:
Passo 10
Agora, juntando os resultados das duas integrais:
Resposta
A integral
é igual a
.
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Se
for um campo vetorial definido por
. Mostre que
é conservativo e encontre uma função potencial para
.