Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty n^3 3^nn!

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para usar o Critério da Razão para verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar aplicar o teste da razão, que envolve calcular o limite da razão entre um termo qualquer da série e o termo seguinte.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo an = n^3 3^nn! é dado por:
an+1 = (n+1)^3 3^n+1(n+1)!
E o próximo termo, , será:

Passo 3

Agora, aplicamos o Critério da Razão, que nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Substituindo os termos que encontramos:
L = limn to infty (n+1)^3 3^n+1(n+1)! cdot n!n^3 3^n

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
L = limn to infty (n+1)^3 cdot 3 cdot 3^n(n+1) cdot n! cdot n!n^3 cdot 3^n
Os termos L = limn to infty (n+1)^3 cdot 3(n+1) cdot n^3 e L = limn to infty (n+1)^2 cdot 3n^3 se cancelam:
L = limn to infty (n^2 + 2n + 1) cdot 3n^3 = limn to infty 3n^2 + 6n + 3n^3
Simplificando mais:
L = limn to infty ( 3n + 6n^2 + 3n^3 ) = 0
Expandindo :
Dividindo cada termo por :

Passo 5

Interpretando o resultado do limite: . Segundo o Critério da Razão, se , a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge pelo Critério da Razão.

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