Determine the values of the following products of base vectors:
a) ax cdot aphi
b) atheta cdot ay
c) ar times ax
d) aR cdot ar
e) ay cdot aR
f) aR cdot az
g) aR times az
h) atheta cdot az
i) az times atheta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa fazer aqui. O exercício pede para determinar os valores de vários produtos entre vetores base, tanto produto escalar (o famoso “pontinho”) quanto produto vetorial (o “x”). Estamos trabalhando com vetores em diferentes sistemas de coordenadas, como cartesiano e possivelmente esférico ou cilíndrico. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular esses produtos e entender como os vetores base se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que são esses produtos:
  • Produto Escalar ( cdot): Esse produto entre dois vetores resulta em um número e é calculado multiplicando as magnitudes dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles. Se os vetores forem ortogonais (perpendiculares), o produto escalar será zero.
  • Produto Vetorial ( times): Esse produto entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois originais. A magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores, e sua direção segue a regra da mão direita.
Agora, vamos analisar cada item do exercício.

Passo 3

a) ax cdot aphi
Aqui, temos o produto escalar entre o vetor base na direção x e o vetor base na direção phi. Supondo que estamos em coordenadas cilíndricas ou esféricas, aphi é perpendicular a ax. Portanto, o cosseno do ângulo entre eles é zero.
Resposta: ax cdot aphi = 0

Passo 4

b) atheta cdot ay
Aqui, atheta é o vetor unitário na direção do ângulo theta, e ay é o vetor na direção y do sistema cartesiano. Dependendo do sistema de coordenadas, se theta é o ângulo polar, atheta também é perpendicular a ay, então o produto escalar será zero.
Resposta: atheta cdot ay = 0

Passo 5

c) ar times ax
Agora, estamos lidando com o produto vetorial entre ar (provavelmente o vetor radial em coordenadas esféricas) e ax (vetor na direção x). O produto vetorial resultará em um vetor perpendicular a ambos. Sem detalhes específicos do sistema, geralmente, esse produto não é zero e dependerá da orientação relativa dos vetores.
Resposta: ar times ax resulta em um vetor perpendicular a ambos ar e ax, cujo valor exato depende da orientação específica dos vetores no sistema de coordenadas considerado.

Passo 6

d) aR cdot ar
Aqui, temos o produto escalar entre aR e ar. Se aR e ar são vetores unitários em direções diferentes, precisamos saber o ângulo entre eles. Se eles forem orthogonais, o produto será zero; caso contrário, será o cosseno do ângulo entre eles.
Resposta: aR cdot ar = cos(theta), onde theta é o ângulo entre aR e ar.

Passo 7

e) ay cdot aR
Similar ao item anterior, o produto escalar entre ay e aR dependerá do ângulo entre eles. Se esses vetores forem perpendiculares, o resultado será zero.
Resposta: ay cdot aR = 0 (se ay e aR forem ortogonais)

Passo 8

f) aR cdot az
Aqui, o produto escalar entre aR e az também depende do ângulo entre eles. Se aR estiver no plano xy, por exemplo, será perpendicular a az, resultando em zero.
Resposta: aR cdot az = 0 (se aR estiver no plano xy)

Passo 9

g) aR times az
O produto vetorial entre aR e az resultará em um vetor perpendicular a ambos. Se estivermos em coordenadas cilíndricas, esse produto pode resultar no vetor aphi.
Resposta: aR times az = aphi

Passo 10

h) atheta cdot az
O produto escalar aqui dependerá do ângulo entre atheta e az. Se atheta for perpendicular a az, o produto será zero.
Resposta: atheta cdot az = 0

Passo 11

i) az times atheta
Finalmente, o produto vetorial entre az e atheta resultará em um vetor perpendicular a ambos. Dependendo da orientação, pode resultar em -ar ou outro vetor conforme o sistema de coordenadas.
Resposta: az times atheta = -ar

Resposta

As respostas dos produtos de vetores base são:
a) ax cdot aphi = 0
b) atheta cdot ay = 0
c) ar times ax resulta em um vetor perpendicular a ambos
d) aR cdot ar = cos(theta)
e) ay cdot aR = 0
f) aR cdot az = 0
g) aR times az = aphi
h) atheta cdot az = 0
i) az times atheta = -ar

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