Determine the values of the following products of base vectors:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa fazer aqui. O exercício pede para determinar os valores de vários produtos entre vetores base, tanto produto escalar (o famoso “pontinho”) quanto produto vetorial (o “x”). Estamos trabalhando com vetores em diferentes sistemas de coordenadas, como cartesiano e possivelmente esférico ou cilíndrico. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular esses produtos e entender como os vetores base se relacionam entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que são esses produtos:
-
Produto Escalar (
): Esse produto entre dois vetores resulta em um número e é calculado multiplicando as magnitudes dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles. Se os vetores forem ortogonais (perpendiculares), o produto escalar será zero. -
Produto Vetorial (
): Esse produto entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois originais. A magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores, e sua direção segue a regra da mão direita.
Agora, vamos analisar cada item do exercício.
Passo 3
a)
Aqui, temos o produto escalar entre o vetor base na direção
e o vetor base na direção
. Supondo que estamos em coordenadas cilíndricas ou esféricas,
é perpendicular a
. Portanto, o cosseno do ângulo entre eles é zero.
Resposta:
Passo 4
b)
Aqui,
é o vetor unitário na direção do ângulo
, e
é o vetor na direção
do sistema cartesiano. Dependendo do sistema de coordenadas, se
é o ângulo polar,
também é perpendicular a
, então o produto escalar será zero.
Resposta:
Passo 5
c)
Agora, estamos lidando com o produto vetorial entre
(provavelmente o vetor radial em coordenadas esféricas) e
(vetor na direção
). O produto vetorial resultará em um vetor perpendicular a ambos. Sem detalhes específicos do sistema, geralmente, esse produto não é zero e dependerá da orientação relativa dos vetores.
Resposta:
resulta em um vetor perpendicular a ambos
e
, cujo valor exato depende da orientação específica dos vetores no sistema de coordenadas considerado.
Passo 6
d)
Aqui, temos o produto escalar entre
e
. Se
e
são vetores unitários em direções diferentes, precisamos saber o ângulo entre eles. Se eles forem orthogonais, o produto será zero; caso contrário, será o cosseno do ângulo entre eles.
Resposta:
, onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 7
e)
Similar ao item anterior, o produto escalar entre
e
dependerá do ângulo entre eles. Se esses vetores forem perpendiculares, o resultado será zero.
Resposta:
(se
e
forem ortogonais)
Passo 8
f)
Aqui, o produto escalar entre
e
também depende do ângulo entre eles. Se
estiver no plano
, por exemplo, será perpendicular a
, resultando em zero.
Resposta:
(se
estiver no plano
)
Passo 9
g)
O produto vetorial entre
e
resultará em um vetor perpendicular a ambos. Se estivermos em coordenadas cilíndricas, esse produto pode resultar no vetor
.
Resposta:
Passo 10
h)
O produto escalar aqui dependerá do ângulo entre
e
. Se
for perpendicular a
, o produto será zero.
Resposta:
Passo 11
i)
Finalmente, o produto vetorial entre
e
resultará em um vetor perpendicular a ambos. Dependendo da orientação, pode resultar em
ou outro vetor conforme o sistema de coordenadas.
Resposta:
Resposta
As respostas dos produtos de vetores base são:
a)
b)
c)
resulta em um vetor perpendicular a ambos
d)
e)
f)
g)
h)
i)