For a single degree of freedom forced undamped system,
, and
. The forcing function has a circular frequency of
. The initial conditions are
inches and
. Determine
c) the displacement at
seconds.
c) the displacement at
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um sistema vibratório de um grau de liberdade forçado e sem amortecimento. A gente sabe que a constante elástica
é 50 lb/in, a massa
é 0,2 lb·s²/in, a força aplicada
é 15 lb, e a frequência circular é
rad/s. Além disso, temos as condições iniciais de deslocamento
polegadas e velocidade inicial
polegada/s. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o deslocamento
nesse sistema no instante
segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um sistema de um grau de liberdade forçado e sem amortecimento. Esse tipo de sistema pode ser descrito pela equação diferencial:
Onde:
-
é a massa, -
é a constante elástica, -
é a amplitude da força externa, -
é a frequência angular da força, -
é o deslocamento em função do tempo, -
é a aceleração.
Nosso objetivo é encontrar
quando
segundos.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a frequência natural do sistema (
). A frequência natural é dada por:
Substituindo os valores dados:
Passo 4
Agora, vamos identificar se há ressonância no sistema. Ressonância ocorre quando a frequência da força externa (
) é igual à frequência natural (
). No nosso caso:
Como
, não há ressonância, o que simplifica nossa solução.
Passo 5
A solução geral para
em um sistema forçado sem amortecimento é a soma da solução homogênea e da solução particular. Ou seja:
Onde:
-
é a solução da equação homogênea (sem a força externa), -
é a solução particular devido à força externa.
Passo 6
Vamos encontrar
. A solução homogênea para a equação
é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos usando as condições iniciais.
Passo 7
Agora, vamos encontrar
, a solução particular. Para uma força externa do tipo
, a solução particular assumida é:
Substituindo
na equação original:
Simplificando:
Portanto,
Passo 8
Vamos calcular
:
Passo 9
Agora, temos a solução geral:
Precisamos determinar
e
usando as condições iniciais.
Passo 10
Aplicando a condição inicial
:
Logo,
Passo 11
Agora, aplicamos a condição
in/s. Primeiro, derivamos
:
Em
:
Então,
Passo 12
Agora, temos todos os valores necessários. Substituindo
e
na solução geral:
Passo 13
Finalmente, substituímos
segundos na expressão para encontrar o deslocamento no instante desejado:
Calculando os argumentos:
Agora, calculamos cada termo:
Usando uma calculadora para os valores de cosseno e seno:
Substituindo:
Resposta
O deslocamento no instante
segundos é aproximadamente
polegadas.