For a single degree of freedom forced undamped system, k=50 lb / in, m=0.2 lbs^2 / in, and F=15 lb. The forcing function has a circular frequency of 19.76 rad / sac. The initial conditions are x(0)=2 inches and dotx(0)=1 in / sec. Determine
c) the displacement at t=5 seconds.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um sistema vibratório de um grau de liberdade forçado e sem amortecimento. A gente sabe que a constante elástica é 50 lb/in, a massa é 0,2 lb·s²/in, a força aplicada é 15 lb, e a frequência circular é rad/s. Além disso, temos as condições iniciais de deslocamento polegadas e velocidade inicial polegada/s. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o deslocamento nesse sistema no instante segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um sistema de um grau de liberdade forçado e sem amortecimento. Esse tipo de sistema pode ser descrito pela equação diferencial:
mddotx(t) + kx(t) = Fcos(omega t)
Onde:
  • é a massa,
  • é a constante elástica,
  • é a amplitude da força externa,
  • é a frequência angular da força,
  • é o deslocamento em função do tempo,
  • é a aceleração.
Nosso objetivo é encontrar quando segundos.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a frequência natural do sistema ( omegan = raizkm ). A frequência natural é dada por:
omegan = raiz500,2 = raiz250 approx 15,81 , rad/s
Substituindo os valores dados:

Passo 4

Agora, vamos identificar se há ressonância no sistema. Ressonância ocorre quando a frequência da força externa ( omega = 19,76 , rad/s e omegan approx 15,81 , rad/s ) é igual à frequência natural ( ). No nosso caso:
Como , não há ressonância, o que simplifica nossa solução.

Passo 5

A solução geral para x(t) = xh(t) + xp(t) em um sistema forçado sem amortecimento é a soma da solução homogênea e da solução particular. Ou seja:
Onde:
  • é a solução da equação homogênea (sem a força externa),
  • é a solução particular devido à força externa.

Passo 6

Vamos encontrar xh(t) = Acos(omegan t) + Bsin(omegan t) . A solução homogênea para a equação é:
Aqui, e são constantes que determinamos usando as condições iniciais.

Passo 7

Agora, vamos encontrar xp(t) = Ccos(omega t) , a solução particular. Para uma força externa do tipo m(-Comega^2)cos(omega t) + kCcos(omega t) = Fcos(omega t) , a solução particular assumida é:
C(k - momega^2) = F
Substituindo C = Fk - momega^2 na equação original:
Simplificando:
Portanto,

Passo 8

Vamos calcular C = 1550 - (0,2)(19,76)^2 = 1550 - 0,2 times 390,5 = 1550 - 78,1 = 15-28,1 approx -0,534 , in :

Passo 9

Agora, temos a solução geral:
x(t) = Acos(15,81 t) + Bsin(15,81 t) - 0,534cos(19,76 t)
Precisamos determinar e usando as condições iniciais.

Passo 10

Aplicando a condição inicial 2 = Acos(0) + Bsin(0) - 0,534cos(0) Rightarrow 2 = A - 0,534 :
A = 2 + 0,534 = 2,534
Logo,

Passo 11

Agora, aplicamos a condição dotx(t) = -Aomegan sin(omegan t) + Bomegan cos(omegan t) + 0,534omega sin(omega t) in/s. Primeiro, derivamos 1 = -Aomegan sin(0) + Bomegan cos(0) + 0,534omega sin(0) Rightarrow 1 = Bomegan :
B = 1omegan = 115,81 approx 0,0633
Em :
Então,

Passo 12

Agora, temos todos os valores necessários. Substituindo x(t) = 2,534cos(15,81 t) + 0,0633sin(15,81 t) - 0,534cos(19,76 t) e na solução geral:

Passo 13

Finalmente, substituímos x(5) = 2,534cos(15,81 times 5) + 0,0633sin(15,81 times 5) - 0,534cos(19,76 times 5) segundos na expressão para encontrar o deslocamento no instante desejado:
15,81 times 5 = 79,05 , rad, 19,76 times 5 = 98,8 , rad
Calculando os argumentos:
x(5) approx 2,534cos(79,05) + 0,0633sin(79,05) - 0,534cos(98,8)
Agora, calculamos cada termo:
cos(79,05) approx 0,997, sin(79,05) approx 0,077
Usando uma calculadora para os valores de cosseno e seno:
cos(98,8) approx -0,139
x(5) approx 2,534 times 0,997 + 0,0633 times 0,077 - 0,534 times (-0,139)
Substituindo:
x(5) approx 2,523 + 0,0049 + 0,074
x(5) approx 2,6019 , in

Resposta

O deslocamento no instante segundos é aproximadamente polegadas.

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