For an undamped single degree of freedom spring mass system,
and the forcing frequency
. The initial conditions are
and
. Determine
b) the displacement of the mass at
sec.
b) the displacement of the mass at
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema massa-mola sem amortecimento. Temos uma massa de 10 kg ligada a uma mola que tem constante elástica de 500 N/m. Além disso, está sendo aplicada uma força externa com amplitude de 40 N e frequência de
. As condições iniciais são que a posição inicial
e a velocidade inicial
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será o deslocamento da massa após 1 segundo.
Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento para sistemas massa-mola forçados, levando em conta as condições iniciais. Vamos abordar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que descreve o movimento de um sistema massa-mola sem amortecimento com força externa:
Aqui:
-
é a massa, -
é a constante da mola, -
é a amplitude da força externa, -
é a frequência da força externa, -
é o deslocamento em função do tempo, -
é a aceleração.
Substituindo os valores conhecidos:
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 10:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial. A solução geral é a soma da solução homogênea (sem a força externa) e da solução particular (devido à força externa).
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A solução para essa equação é:
Onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, encontramos a solução particular,
, para a equação completa:
Assumimos uma solução particular da forma:
Derivando duas vezes:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral é a soma das soluções homogênea e particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, derivamos
:
Aplicando
:
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos de volta na solução geral:
Vamos calcular
, o deslocamento após 1 segundo:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Resposta
O deslocamento da massa em
segundo é aproximadamente
.