For an undamped single degree of freedom spring mass system, m=10 kg, k=500
N / m, F0=40 N and the forcing frequency omega=18 rad / s. The initial conditions are x(0)=0.01 m and dotx(0)=1 m / s. Determine
b) the displacement of the mass at t=1 sec.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema massa-mola sem amortecimento. Temos uma massa de 10 kg ligada a uma mola que tem constante elástica de 500 N/m. Além disso, está sendo aplicada uma força externa com amplitude de 40 N e frequência de 18 , rad/s. As condições iniciais são que a posição inicial x(0) = 0,01 , m e a velocidade inicial dotx(0) = 1 , m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será o deslocamento da massa após 1 segundo.
Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento para sistemas massa-mola forçados, levando em conta as condições iniciais. Vamos abordar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que descreve o movimento de um sistema massa-mola sem amortecimento com força externa:
m ddotx(t) + k x(t) = F0 cos(omega t)
Aqui:
  • m é a massa,
  • k é a constante da mola,
  • F0 é a amplitude da força externa,
  • omega é a frequência da força externa,
  • x(t) é o deslocamento em função do tempo,
  • ddotx(t) é a aceleração.
Substituindo os valores conhecidos:
10 ddotx(t) + 500 x(t) = 40 cos(18 t)
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 10:
ddotx(t) + 50 x(t) = 4 cos(18 t)

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial. A solução geral é a soma da solução homogênea (sem a força externa) e da solução particular (devido à força externa).
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
ddotx(t) + 50 x(t) = 0
A solução para essa equação é:
xh(t) = A cos(raiz50 t) + B sin(raiz50 t)
Onde A e B são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, encontramos a solução particular, xp(t), para a equação completa:
ddotx(t) + 50 x(t) = 4 cos(18 t)
Assumimos uma solução particular da forma:
xp(t) = C cos(18 t) + D sin(18 t)
Derivando duas vezes:
ddotxp(t) = -C (18)^2 cos(18 t) - D (18)^2 sin(18 t)
Substituindo na equação original:
-324 C cos(18 t) - 324 D sin(18 t) + 50 (C cos(18 t) + D sin(18 t)) = 4 cos(18 t)
Simplificando:
(-324 C + 50 C) cos(18 t) + (-324 D + 50 D) sin(18 t) = 4 cos(18 t)
-274 C cos(18 t) - 274 D sin(18 t) = 4 cos(18 t)
Igualando os coeficientes:
-274 C = 4 Rightarrow C = -4274 = -2137
-274 D = 0 Rightarrow D = 0
Portanto, a solução particular é:
xp(t) = -2137 cos(18 t)

Passo 5

A solução geral é a soma das soluções homogênea e particular:
x(t) = A cos(raiz50 t) + B sin(raiz50 t) - 2137 cos(18 t)
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar A e B.
Primeira condição: x(0) = 0,01 , m
0,01 = A cos(0) + B sin(0) - 2137 cos(0)
0,01 = A - 2137
A = 0,01 + 2137 approx 0,01 + 0,0146 = 0,0246 , m
Segunda condição: dotx(0) = 1 , m/s
Primeiro, derivamos x(t):
dotx(t) = -A raiz50 sin(raiz50 t) + B raiz50 cos(raiz50 t) + 2 cdot 18137 sin(18 t)
Aplicando t = 0:
1 = -A raiz50 cdot 0 + B raiz50 cdot 1 + 0
1 = B raiz50
B = 1raiz50 approx 17,071 approx 0,1414 , s

Passo 6

Agora que temos A e B, substituímos de volta na solução geral:
x(t) = 0,0246 cos(raiz50 t) + 0,1414 sin(raiz50 t) - 2137 cos(18 t)
Vamos calcular x(1), o deslocamento após 1 segundo:
x(1) = 0,0246 cos(7,071 cdot 1) + 0,1414 sin(7,071 cdot 1) - 2137 cos(18 cdot 1)
Calculando cada termo:
  • cos(7,071) approx 0,613
  • sin(7,071) approx 0,791
  • cos(18) approx -0,660
Substituindo:
x(1) = 0,0246 cdot 0,613 + 0,1414 cdot 0,791 - 2137 cdot (-0,660)
x(1) approx 0,0151 + 0,112 , + , 2137 cdot 0,660
x(1) approx 0,0151 + 0,112 + 0,0096
x(1) approx 0,1367 , m

Resposta

O deslocamento da massa em t = 1 segundo é aproximadamente 0,137 , metros.

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