An electromechanical machine system weighing 25 lbs is subjected to a harmonic excitation having a minimum value of 15 labs and a frequency of 200 cycles / min. Design an appropriate lightly damped spring mass support system for this machine such that the machine dose not collide in its movement given that the clearance for the vibrational displacement or the clearance of the machine is 1.5 in.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma máquina que pesa 25 lbs e está sendo submetida a uma força harmônica mínima de 15 lbs com uma frequência de 200 ciclos por minuto. Queremos projetar um sistema de suporte com molas e amortecedores que seja levemente amortecido, de modo que a máquina não bata durante seus movimentos. Além disso, a máquina tem uma folga de 1,5 polegadas para seu deslocamento vibracional.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas massa-mola-amortecedor e resonância. Vamos calcular a frequência natural do sistema, determinar a rigidez da mola e o amortecimento necessário para evitar que a máquina ultrapasse a folga disponível.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos.
  • Peso da máquina: 25 lbs
  • Força mínima: 15 lbs
  • Frequência da excitação: 200 ciclos/min
  • Folga: 1,5 polegadas
Vamos converter:
  1. Peso para massa:
    Sabemos que peso P = m cdot g está relacionado à massa f = 200 , ciclos/min = 20060 , ciclos/s approx 3,333 , Hz pela gravidade omega = 2pi f approx 2pi times 3,333 approx 20,944 , rad/s :
    1,5 , in = 1,512 , ft = 0,125 , ft
    Onde .
    Mas para consistência, vamos trabalhar em libras-força (lb_f) e pés (ft).
  2. Frequência para radianos por segundo:
    Frequência angular :
  3. Folga para pés:

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa da máquina.
Usando a relação m = Pg = 25 , lbf32,174 , ft/s^2 approx 0,776 , slugs :
(slugs é a unidade de massa no sistema imperial).

Passo 4

Para projetar o sistema massa-mola-amortecedor, precisamos determinar a rigidez da mola omegan = raizkm e a constante de amortecimento omegan = 1,2 times 20,944 approx 25,133 , rad/s . Como o sistema precisa ser levemente amortecido e evitar que a máquina ultrapasse a folga, vamos primeiramente calcular a rigidez da mola.
A frequência natural k = m cdot omegan^2 = 0,776 times (25,133)^2 approx 0,776 times 631,7 approx 490,7 , lbf/ft de um sistema massa-mola é dada por:
Queremos que a frequência natural seja diferente da frequência de excitação para evitar ressonância. Idealmente, a frequência natural deve ser maior que a frequência de excitação.
Vamos escolher uma frequência natural um pouco maior que . Por exemplo, :
Agora, resolvemos para :

Passo 5

Agora, vamos determinar o amortecimento necessário para o sistema ser levemente amortecido e evitar grandes oscilações. A constante de amortecimento c = 2 zeta raizk m está relacionada ao fator de amortecimento c = 2 times 0,05 times raiz490,7 times 0,776 approx 0,1 times raiz380,0 approx 0,1 times 19,494 approx 1,949 , lbf cdot s/ft pela fórmula:
Vamos escolher um fator de amortecimento pequeno, por exemplo, (levemente amortecido).
Calculando :

Passo 6

Por fim, precisamos verificar se o deslocamento máximo não ultrapassa a folga de 0,125 ft (1,5 in). A amplitude do deslocamento X = Fraiz(k - m omega^2)^2 + (c omega)^2 em regime permanente para forçante harmônica é dada por:
k - m omega^2 = 490,7 - 0,776 times (20,944)^2 approx 490,7 - 0,776 times 438,0 approx 490,7 - 340,7 approx 150,0 , lbf/ft
Onde c omega = 1,949 times 20,944 approx 40,77 , lbf cdot s/ft , X = 15raiz150,0^2 + 40,77^2 approx 15raiz22500 + 1662 approx 15raiz24162 approx 15155,4 approx 0,096 , ft approx 1,155 , in , , , e .
Vamos calcular:
Então:
Como 1,155 in < 1,5 in, nossa escolha está adequada.

Resposta

Portanto, o sistema de suporte idealizado consiste em uma mola com rigidez de aproximadamente e um amortecedor com constante de amortecimento de cerca de , garantindo que o deslocamento vibracional da máquina não ultrapasse a folga de 1,5 polegadas.

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